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【题目】如图,抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点(A点在B点左侧),直线l与抛物线交于A、C两点,其中C点的横坐标为2.

(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;
(2)P是线段AC上的一个动点,过P点作y轴的平行线交抛物线于E点,求线段PE长度的最大值;
(3)点G抛物线上的动点,在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出所有满足条件的F点坐标;如果不存在,请说明理由.

【答案】
(1)

解:令y=0,解得x1=﹣1或x2=3

∴A(﹣1,0)B(3,0)

将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3

∴C(2,﹣3)

∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1


(2)

解:设P点的横坐标为x(﹣1≤x≤2)

则P、E的坐标分别为:P(x,﹣x﹣1)

E(x,x2﹣2x﹣3)

∵P点在E点的上方,PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+x+2=﹣(x﹣ 2+

∴当 时,PE的最大值=


(3)

解:存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(﹣3,0),F3(4+ ,0),F4(4﹣ ,0).

①如图,连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(﹣3,0);

②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(﹣1,0),因此F点的坐标为(1,0);

③如图,此时C,G两点的纵坐标互为相反数,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+ ,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+ .因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+ ,0);

④如图,同③可求出F的坐标为(4﹣ ,0).

综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点


【解析】(1)因为抛物线与x轴相交,所以可令y=0,解出A、B的坐标.再根据C点在抛物线上,C点的横坐标为2,代入抛物线中即可得出C点的坐标.再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式;(2)根据P点在AC上可设出P点的坐标.E点坐标可根据已知的抛物线求得.因为PE都在垂直于x轴的直线上,所以两点之间的距离为yp﹣yE , 列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案;(3)存在四个这样的点.
①连接C与抛物线和y轴的交点,那么CG∥x轴,此时AF=CG=2,因此F点的坐标是(﹣3,0);
②AF=CG=2,A点的坐标为(﹣1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1+ ,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=﹣x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+7.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+ ,0);
④如图,同③可求出F的坐标为(4﹣ ,0);
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点.

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