Question

5．矩形ABCD中，AB=5，BC=13，E为CD边上一点，将矩形沿直线BE折叠．
（1）使点C落在AD边上C′处（如图1），求DE的长；
（2）使点C落在BD边上C′处（如图2），求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由翻折的性质可知BC′=BC=13，C′E=EC，在Rt△ABC′中由勾股定理可求得AC′的长，得到C′D=1，设DE=x，则C′E=5-x，最后在Rt△C′DE中由勾股定理列出关于x的方程求解即可；
（2）在△ABD中由勾股定理可求得BD=$\sqrt{194}$，由翻折的性质可知BC′=BC=13，C′E=EC，先求得C′D=$\sqrt{194}-13$，然后证明△C′DE∽△ABD，由相似三角形的性质可求得DE的长．

解答 解：（1）由翻折的性质可知：BC′=BC=13，C′E=EC．
∵在Rt△ABC′中由勾股定理得：AC′=$\sqrt{BC{′}^{2}-A{B}^{2}}$=12．
∴C′D=13-12=1．
设DE=x，则C′E=5-x．
在Rt△C′DE中由勾股定理可知：C′E²=DE²+C′D²．即（5-x）²=x²+1²．
解得：x=$\frac{12}{5}$．
∴DE的长为$\frac{12}{5}$．
（2）在Rt△ABD中，由勾股定理得BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{194}$．
∵由翻折的性质可知BC′=BC=13，C′E=EC，
∴C′D=$\sqrt{194}-13$．
∵∠EDC′=∠ABD，∠EC′D=∠A=90°，
∴△C′DE∽△ABD．
∴$\frac{C′D}{AB}=\frac{DE}{BD}$，即$\frac{\sqrt{194}-13}{5}=\frac{DE}{\sqrt{194}}$．
解得：DE=$\frac{194-13\sqrt{194}}{5}$．

点评 本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用、相似三角形的判定和性质，由勾股定理列出关于x的方程以及由相似三角形的性质得到$\frac{\sqrt{194}-13}{5}=\frac{DE}{\sqrt{194}}$是解题的关键．