Question

14．如图，小明想测山高和索道的长度，他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=30°．再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=45°．
（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；
（2）求索道AC的长（带根号即可）．

Answer 1

分析 （1）作AH⊥BE于H，设AC=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质解答即可．

解答 解：（1）作AH⊥BE于H，
设AC=xm，
∵∠ACE=45°，
∴CH=AH=xm，
tanB=$\frac{AH}{BH}$，
∴BH=$\sqrt{3}$x，
则BH-CH=BC，即$\sqrt{3}$x-x=80，
解得x=40（$\sqrt{3}$+1）．
答：这座山的高度为40（$\sqrt{3}$+1）m；
（2）∵∠ACE=45°，
∴AC=$\sqrt{2}$AH=40（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）m．

点评 本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．