Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴交于点O、M．对称轴为直线x=2，以OM为直径作圆A，以OM的长为边长作菱形ABCD，且点B、C在第四象限，点C在抛物线对称轴上，点D在y轴负半轴上；
（1）求证：4a+b=0；
（2）若圆A与线段AB的交点为E，试判断直线DE与圆A的位置关系，并说明你的理由；
（3）若抛物线顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可知（4，0），由抛物线经过点O可求得c=0，将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式可证得：4a+b=0；
（2）如图1所示：由菱形的性质可知：DN=NB，DN⊥AN，由OM=AD=AB，可证明AD=AB=DB，由AE=2可知AE=EB，由等腰三角形三线合一的性质可知AE⊥DE，从而可证明DE与圆A相切；
（3）如图2所示．设点P的坐标为（2，m）．由题意可知点E的坐标为（-2，2），设抛物线的解析式为y=ax（x-4），将x=2代入得y=-4a即m=-4a．由∠OPM为锐角且抛物线的顶点在菱形的内部可知-4a＜-2、-4a＞-4$\sqrt{3}$，从而可求得a的取值范围．

解答 解：（1）∵O的坐标为（0，0），抛物线的对称轴为x=2，
∴点M的坐标为（4，0）．
∵抛物线经过点O，
∴c=0．
将c=0，x=4，y=0代入抛物线的解析式得：16a+4b=0．
整理得：4a+b=0．
（2）DE与圆A相切．
理由：如图1所示：

∵四边形ABCD为菱形，
∴DN=NB，DN⊥AN．
∵∠AOD=∠AON=∠DNA=90°，
∴四边形OAND为矩形．
∴OA=DN=2．
∴DB=OM=4．
∵OM=AD=AB，
∴AD=AB=DB．
∵AE为圆A的半径，
∴AE=EB=2．
∵AD=DB，AE=EB．
∴AE⊥DE．
∴DE与圆A相切．
（3）如图2所示．

设点P的坐标为（2，m）．
∵OM为圆A的直径，
∴∠OEM=90°．
∵AE=2，OA=2，
∴点E的坐标为（2，-2）．
设抛物线的解析式为y=ax（x-4），将x=2代入得y=-4a．
∴m=-4a．
∵∠OPM为锐角，
∴点P在点E的下方．
∴-4a＜-2．
解得：a＞$\frac{1}{2}$．
在Rt△AOD中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
∴AC=4$\sqrt{3}$．
∵点P在菱形的内部，
∴点P在点C的上方．
∴-4a＞-4$\sqrt{3}$．
解得：a＜$\sqrt{3}$．
∴a的取值范围是$\frac{1}{2}＜a＜\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了菱形的性质、切线的判定、等边三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质，依据腰三角形三线合一的性质证得DE⊥AE是解答问题（2）的关键，由抛物线的顶点P在菱形ABCD的内部且∠OPM为锐角得出点P的纵坐标的取值范围是解问题（3）的关键．