Question

【题目】已知，二次函数的图像经过点

（1）求此函数的解析式，并写出其顶点坐标；

（2）在线段上是否存在点(不含两点)，使与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由

Answer 1

【答案】（1），顶点为(1，4)；（2）存在，点P的坐标为()

【解析】

（1）已知了抛物线图象上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式；用配方法将抛物线解析式化为顶点式，然后求出其顶点坐标；
（2）可分两种情况：
①△ABP∽△ABC，此时AB:AB=AP:AC，P、C重合，此种情况不合题意；
②△ABP∽△ACB，得AB:AC=AP:AB，由此可求出AP的长；易求得直线AC的解析式，可根据直线AC的解析式设出P点的坐标，再由AP的长求出P点的坐标．

（1）由题意得：，

解得：，

∴此函数解析式为，
∵，
∴顶点为(1，4)；
（2）假设存在点P，使△ABP与△ABC相似，

①△ABP∽△ABC，此时AB:AB=AP:AC，

∴AP=AC，即P、C重合，此种情况不合题意；
②△ABP∽△ACB，得AB:AC=AP:AB，

∵，

∴，，

∴

直线AC的解析式为：，

则，

解得：，

∴直线AC的解析式为：，

设P，其中，

∴

解得：(舍去)．

∴点P的坐标为() ．