Question

9．如图，AD、AE分别是△ABC的中线和角平分线，AC=2，AB=5，过点C作CF⊥AE于点F，连接DF，有下列结论：
①将△ACF沿着直线AE折叠，点C怡好落在AB上；
②3＜2AD＜7；
③若∠B=30°，∠FCE=15°，则∠ACB=55°；
④若△ABC的面积为S，则△DFC的面积为0.15S．
其中正确的是①②④．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 如图延长CF交AB于M，延长AD到N使得DN=AD，连接BN、CN；①正确，由CF=CM即可解决．②正确，在△ABN中利用三边关系即可解决．③错误，∠ACB=60°，④正确，先证明S_△BCM=$\frac{3}{5}$S_△ABC=$\frac{3}{5}$s，由△DFC∽△BMC，得S_△DFC=$\frac{1}{4}$S_△BCM即可证明．

解答 解；如图延长CF交AB于M，延长AD到N使得DN=AD，连接BN、CN，
∵∠FAM=∠FAC，∠AFM=∠AFC=90°，
∴∠FAM+∠AMF=90°，∠FAC+∠ACF=90°，
∴∠AMC=∠ACM，
∴AM=AC，∵AF⊥MC，
∴MF=CF，
∴将△ACF沿着直线AE折叠，点C怡好落在AB上，故①正确．
∵BD=CD，AD=DN，
∴四边形ABNC是平行四边形，
∴BN=AC=2，∵AB=5，
在△ABN中，有5-2＜AN＜5+2，
∴3＜2AD＜7，故②正确，
∵∠B=30°，∠FCE=15°，
∴∠AMC=∠ACM=45°，
∴∠ACB=∠ACM+∠FCE=60°，故③错误．
∵AM=AC=2，AB=5，
∴BM：AB=3：5，
∴S_△BCM=$\frac{3}{5}$S_△ABC=$\frac{3}{5}$s，
∵BD=CD，MF=FC，
∴DF∥BM，
∴△DFC∽△BMC，
∴S_△DFC=$\frac{1}{4}$S_△BCM=$\frac{3}{20}s$=0.15s，故④正确，
故答案为①②④．

点评 本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形或特殊四边形，属于中考常考题型．