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【题目】定义:如图,在ABC中,CD是AB边上的中线,那么ACD和BCD是友好三角形,并且SACD=SBCD.应用:如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O.

(1)求证:AOB和AOE是友好三角形

(2)连接OD,若AOE和DOE是友好三角形,求四边形CDOF的面积.

【答案】(1)证明见解析;(2)12.

【解析】

试题分析:(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,得到四边形ABFE是平行四边形,然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得AOE和AOB是友好三角形;

(2)AOE和DOE是友好三角形,即可得到E是AD的中点,则可以求得ABE、ABF的面积,根据S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF即可求解.

试题解析:(1)连接EF,

四边形ABCD是矩形,

ADBC,

AE=BF,

四边形ABFE是平行四边形,

OE=OB,

∴△AOE和AOB是友好三角形.

(2)∵△AOE和DOE是友好三角形,

SAOE=SDOE,AE=ED=AD=3,

∵△AOB与AOE是友好三角形,

SAOB=SAOE

∵△AOE≌△FOB,

SAOE=SFOB

SAOD=SABF

S四边形CDOF=S矩形ABCD-2SABF=4×6-2××4×3=12.

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