Question

19．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH，若AB=a，∠A=60°，当四边形
EFGH的面积取得最大时，BE的长度为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}a}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}a}{2}$
• C． $\frac{a}{2}$
• D． $\frac{a}{3}$

Answer 1

分析 利用等腰三角形的性质：等边对等角，以及平行线的性质可以证得∠DGH+∠CGH=90°，则∠HGF=90°，根据三个角是直角的四边形是矩形，可证得四边形EFGH是矩形；设BE的长是x，则利用x表示出矩形EFGH的面积，根据函数的性质即可求解．

解答 解：∵DG=DH，
∴∠DHG=∠DGH，
同理∠CGF=$\frac{180°-∠D}{2}$，
∴∠DGH+∠CGF=$\frac{360°-（∠D+∠C）}{2}$，
又∵菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠D+∠C=180°，
∴∠DGH+∠CGF=90°，
∴∠HGF=90°，
同理，∠GHE=90°，∠EFG=90°，
∴四边形EFGH是矩形；
∵AB=a，∠A=60°，
∴菱形ABCD的面积是：$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²，
设BE=x，则AE=a-x，
则△AEH的面积是：$\frac{\sqrt{3}（{a-x）}^{2}}{4}$，
△BEF的面积是：$\frac{\sqrt{3}{x}^{2}}{4}$，
则矩形EFGH的面积y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a²-$\frac{\sqrt{3}（{a-x）}^{2}}{4}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
即y=-$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$ax，
则当x=$\frac{\sqrt{3}a}{2\sqrt{3}}$=$\frac{a}{2}$时，函数有最大值．
此时BE=$\frac{a}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了菱形的性质，矩形的判定以及二次函数的性质，正确利用x表示出矩形EFGH的面积是关键．