Question

8．如图，直线AB：y=x+1与直线CD：y=-2x+4交于点E．
（1）求E点坐标；
（2）在x轴上找一点F使得FB+FE最小，求OF的长；
（3）若P为直线CD上一点，当△AEP面积为6时，求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）联立两个方程解答即可；
（2）作B关于x轴的对称点，得出OF的长；
（3）根据三角形的面积公式解答即可．

解答 解：（1）由题意：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-2x+4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
所以E（1，2）；
（2）作B关于x轴的对称点B₁，连接B₁E交x轴于F，

∵y=x+1中，B（0，1）
∴B₁（-1，0），
设y_BE=kx+b（k≠0），
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-1=b}\\{2=k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴y=3x-1，
当y=0时，x=$\frac{1}{3}$，
∴OF=$\frac{1}{3}$；
（3）当P在直线AE下方时：${S}_{△APE}={S}_{△ADE}+{S}_{△ADP}=\frac{1}{2}×3×|2-{y}_{P}|=6$，
y_P=-2，
所以P₁（3，-2），
当P在直线AE上方时：
${S}_{△APE}={S}_{△APD}-{S}_{△ADE}=\frac{1}{2}×3×|{y}_{P}-2|=6$，
y_P=6，
所以P₂（-1，6）

点评 本题考查了两直线相交或平行问题，关键是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解分析．