Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点为，两点，与轴交于点，顶点为，其对称轴与轴交于点.

（1）求二次函数解析式；

（2）连接，，，试判断的形状，并说明理由；

（3）点为第三象限内抛物线上一点，的面积记为，求的最大值及此时点的坐标；

（4）在线段上，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）为直角三角形，理由见解析；（3）当时，，此时；（4），，.

【解析】

（1）二次函数表达式为：y=a（x+3）（x-1）=a（x2+2x-3），则-3a=-3，解得：a=1，即可求解；
（2）由AD2=AC2+CD2，故△ADC为直角三角形；
（3）.，即可求解；
（4）分AE=EF、AE=AF、AF=EF三种情况分别求解即可．

（1）设，

∵，，，

∴，

∴，

∴二次函数解析式为：.

（2）为直角三角形，理由：

由（1）可知，

过点作轴于，

在中，，，

∴，，

在中，，，

∴，，

∴，且，

∴为直角三角形.

（3）设直线解析式为：，

∵，，

∴，

∴，，

∴.

过点作轴的垂线交于，设，

则.

∵点在第三象限，

∴

，

∴

.

∴当时，，此时.

（4），，.理由如下：

∵OA=OC=3，∴∠OAC=∠OCA=45°，
①当AE=EF时，如下图，

△AEF为等腰直角三角形，AE=2=EF，
∴点F（-1，2）；
②当AE=AF时，
同理可得：点F（-3，-）；
③当AF=EF时，
同理可得：点F（-2，-1）；
故点F的坐标为：，，.