Question

【题目】如图1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°至CE，连接AE．

（1）连接ED，若CD=3，AE=4，求AB的长；

（2）如图2，若点F为AD的中点，连接EB、CF，求证：CF⊥EB．

Answer 1

【答案】（1）AB=；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据旋转的性质，得出△BCD≌△ACE，进而得到AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，∠EAD=90°，再根据CD2+EC2=DE2=AE2+AD2,即可得到AD的长，进而求出AB的长；

（2）如图2，过C作CG⊥AB于G，则AG=BG，根据等腰直角三角形的性质可得，，再根据点F是AD的中点，可得到，再根据，∠CGF=∠BAE=90°，即可判定△CGF∽△BAE，进而得到∠FCG=∠ABE，依据∠ABE+∠CFG=90°，可得CF⊥BE．

（1）如图1，由旋转可得：EC=DC=3，∠ECD=90°=∠ACB，

∴∠BCD=∠ACE，

又∵AC=BC，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

∴AE=BD=4，∠CAE=∠B=45°=∠CAB，

∴∠EAD=90°，

∴DE==3，

∴AD===，

∴AB=AD+BD= +4．

（2）如图2，过C作CG⊥AB于G，则AG=AB，

∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴CG=AB，即．

∵点F为AD的中点，

∴FA=AD，

∴FG=AG﹣AF=AB﹣AD=（AB﹣AD）=BD，

由（1）可得：BD=AE，

∴FG=AE，即，

∴，

又∵∠CGF=∠BAE=90°，

∴△CGF∽△BAE，

∴∠FCG=∠ABE．

∵∠FCG+∠CFG=90°，

∴∠ABE+∠CFG=90°，

∴CF⊥BE．