Question

【题目】在△ABC中，，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．

（1）如图1，点D在BC边上，，AD与BE相交于点P，过点A作，交BE的延长线于点F，易得的值为 ；

（2）如图2，在△ABC中，，点D在BC的延长线上，AD与AC边上的中线BE的延长线交于点P，，求的值；

（3）在（2）的条件下，若CD=2，AC=6，则BP= ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）易证△AEF≌△CEB，则有AF=BC．设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；（2）过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易证△AEF≌△CEB，则有EF=BE，AF=BC=2k．易证△AFP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质就可求出的值；

（3）当CD=2时，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根据的值求出的值，就可求出BP的值．

解：（1）如图1中，

∵AF∥BC，
∴∠F=∠EBC，
∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC．
设CD=k，则DB=2k，AF=BC=3k，
∵AF∥BC，

∴△APF∽△DPB，
∴，

故答案是：；

（2）如图2，过点A作AF∥DB，交BE的延长线于点F，

设DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中点，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴；

（3）当CD=2时，BC=4，

∵AC=6，
∴EC=AE=3，

∴EB=

∴EF=BE=5，BF=10．
∵，

，

∴BP=BF=×10=6．
故答案为6．