Question

【题目】（问题背景）

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明.

（简单应用）

（2）如图2，分别平分，若，，求的度数（可直接使用问题（1）中的结论）.

（问题探究）

（3）如图3，直线平分的外角，平分的外角，若，，猜想的度数为 .

（拓展延伸）

（4）在图4中，若设，，，试问与、之间的数量关系为： （用表示）

（5）在图5中，平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论 .

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）（4）；（5）

【解析】

（1）根据三角形内角和定理即可证明；
（2）如图2，根据角平分线的性质得到∠1=∠2，∠3=∠4，列方程组即可得到结论；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，由∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题；
（4）（5）同法列出方程组即可解决问题．

（1）证明：在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB=180°，
在△COD中，∠C+∠D+∠COD=180°，
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；

（2）解：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
由（1）的结论得：，

①+②，得2∠P+∠1+∠3=∠2+∠4+∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=23°；
（3）解：如图3，

∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°-∠2，∠PCD=180°-∠3，
∵∠P+（180°-∠1）=∠D+（180°-∠3），
∠P+∠1=∠B+∠4，
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°；
故答案为：26°；
【拓展延伸】
（4）同法可得：；
故答案为：，
（5）同法可得：．
故答案为：．