Question

【题目】已知点A、D在直线l的同侧．

（1）如图1，在直线l上找一点C．使得线段AC+DC最小（请通过画图指出点C的位置）；

（2）如图2，在直线l上取两点B、E，恰好能使△ABC和△DCE均为等边三角形．M、N分别是线段AC、BC上的动点，连结DN交AC于点G，连结EM交CD于点F．

①当点M、N分别是AC、BC的中点时，判断线段EM与DN的数量关系，并说明理由；

②如图3，若点M、N分别从点A和B开始沿AC和BC以相同的速度向点C匀速运动，当M、N与点C重合时运动停止，判断在运动过程中线段GF与直线1的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）①EM=DN②FG∥l

【解析】

（1）先作出点A关于直线l的对称点A'连接DA'交直线l于点C；

（2）①先判断出CM=CN，∠DCN=∠ECM=120°，进而判断出△CDN≌△CEM，即可得出结论；

②同①的方法判断出△CDN≌△CEM，得出∠CDN=∠CEM，进而判断出△DCG≌△ECF，得出CF=CG，得出△CFG是等边三角形即可得出结论．

（1）如图1所示，点C就是所求作；

（2）①EM=DN，理由：

∵点M、N分别是AC、BC的中点，

∴CM=AC，CN=BC，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∴∠ECM=120°，CM=CN，

∴△CDE是等边三角形，

∴∠DCE=60°，CE=CD，∴∠NCD=120°，

在△CDN和△CEM中，，

∴△CDN≌△CEM，

∴EM=DN；

②FG∥l，理由：如图3，连接FG，

由运动知，AM=BN，

∵AC=BC，

∴CM=BN，

在△CDN和△CEM中，，

∴△CDN≌△CEM，

∴∠CDN=∠CEM，

∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD=60°=∠DCE，

在△DCG和△ECF中，，

∴△DCG≌△ECF，

∴CF=CG，

∵∠FCG=60°，

∴△CFG是等边三角形，

∴∠CFG=60°=∠ECF，

∴FG∥BC，

即：FG∥l．