Question

19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB上一点，且∠A=2∠DCB．E是BC边上的一点，以EC为直径的⊙O经过点D．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若弦CD的弦心距为3，sinB=$\frac{3}{5}$，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，由OD=OC，根据等边对等角得到一对角相等，再由∠DOB为△COD的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出∠DOB=2∠DCB，又∠A=2∠DCB，可得出∠A=∠DOB，又∠ACB=90°，可得出直角三角形ABC中两锐角互余，等量代换可得出∠B与∠ODB互余，即OD垂直于BD，确定出AB为圆O的切线，得证；
（2）连结AO交DC于点M，通过三角形全等证得AD=AC，∠OAD=∠CAO，根据等腰三角形三线合一的性质证得AO⊥DC，根据$sinB=\frac{3}{5}$，设DO=3k，则BO=5k，进而得出BD=4k，OD=OC=3k，BC=8k，根据勾股定理求得AO=3$\sqrt{5}$k，然后由△DOM∽△AOD，对应边成比例得出OD²=OM•OA，即（3k）²=3×$3\sqrt{5}$，从而求得k的值，则BD=4k=$4\sqrt{5}$．

解答 （1）证明：连接OD，如图所示：
∵OD=OC，
∴∠DCB=∠ODC，
又∵∠DOB为△COD的外角，
∴∠DOB=∠DCB+∠ODC=2∠DCB，
又∵∠A=2∠DCB，
∴∠A=∠DOB，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴∠DOB+∠B=90°，
∴∠BDO=90°，
∴OD⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；

（2）连结AO交DC于点M，
在RT△ADO和RT△ACO中，
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{OA=OA}\end{array}\right.$，
∴RT△ADO≌RT△ACO（HL），
∴AD=AC，∠OAD=∠CAO
∴AO⊥DC
∵弦DC的弦心距为3，
∴OM=3
∵$sinB=\frac{3}{5}$，
∴设DO=3k，则BO=5k
∴BD=4k，
∴OD=OC=3k
∴BC=8k
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC=6k，
∴AD=6k，
∴$AO=\sqrt{{{（3k）}^2}+{{（6k）}^2}}=3\sqrt{5}k$
∵∠ADO=∠DMO=90°，∠DOM=∠AOD，
∴△DOM∽△AOD，
∴OD²=OM•OA，
∴（3k）²=3×$3\sqrt{5}$，
∴$k=\sqrt{5}$或k=0（舍去），
∴BD=4k=$4\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，三角形的外角性质，以及解直角三角形等，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．