【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c的顶点为M,对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(-3,0)和B.将抛物线y=x2+bx+c绕点B逆时针方向旋转90°,点M1,A1为点M,A旋转后的对应点,旋转后的抛物线与y轴相交于C,D两点.
(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式:
(2)求证A,M,A1三点在同一直线上:
(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点,是否存在一点P,使四边形PM1MD的面积最大.如果存在,请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)见试题解析;(3)∴点P的坐标为(,-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为
【解析】
试题(1)根据抛物线的对称性即可写出B的坐标,根据对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A(-3,0)代入即可得到方程组,解方程组即可求出b、c的值,即可得到答案;
(2)把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标,根据旋转和图象即可求出M1、A1的坐标,设直线AM的表达式为y=kx+m,把A、M的坐标代入即可求出直线AM的解析式,根据以此函数图象上点的坐标特征确定点A1在直线AM上即可得到结论;
(3)连接M1D,如图,由于S△M1MD是定值,则要使四边形PM1MD的面积最大,只要S△M1PD最大,将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,点P与点Q重合,点D与点F重合,利用旋转变换得点F的坐标为(-5,5),设点Q的坐标为(m,),易得直线MF的表达式为y=,则根据三角形面积公式得到S△PDM1=S△QMF=(-)×(5+1)=,根据二次函数的性质得当m=-2时,当m=-2时,S△M1PD最大=,则点Q(-2,-),利用旋转变换得点P的坐标为(,-7),然后计算S△DM1M的面积=24,再计算出四边形PM1MD的面积为24+=.
试题(1)解:∵点B与点A(-3,0)关于直线x=1对称,
∴点B的坐标为(5,0),与x轴的交点为A(-3,0)代入即可得到方程组,解得;
(2)点M1的坐标为(9,-4),点A1的坐标为(5,-8),设直线AM的表达式为y=kx+m,把A(-3,0),M(1,-4)代入解得,直线AM的解析式为y=-x-3,当x=5代入y=-x-3=-8,∴点A1在直线AM上,∴∠AMA1=180°;
(3)解:存在点P使四边形PM1MD的面积最大.
连接M1D,如图,∵S△M1MD是定值,∴要使四边形PM1MD的面积最大,只要S△M1PD最大,将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,点P与点Q重合,点D与点F重合,则点Q,F都在抛物线y=上,由于F点的纵坐标为5,当y=5时,解得x1=-5,x2=7(舍去),∴点F的坐标为(-5,5),设点Q的坐标为(m,)易得直线MF的表达式为y=
∴S△PDM1=S△QMF==
当m=-2时,S△M1PD最大=∴点Q(-2,∴点P的坐标为(,-7),
∵点M的坐标为(1,-4),点M1的坐标为(9,-4),D(0,-10),
∴S△DM1M的面积=24,∴四边形PM1MD的面积为24+=,∴点P的坐标为(,-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为.
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【题目】如图,游客在点A处坐缆车出发,沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB=BD=800米,∠α=75°,∠β=45°,求山高DE(结果精确到1米).(参考数据:sin75°=0.966,cos75°=0.259,tan75°=3.732,=1.414)
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【题目】已知:如图,菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若∠CAD=∠DBC.
(1)求证:ABCD是正方形.
(2)E是OB上一点,DH⊥CE,垂足为H,DH与OC相交于点F,求证:OE=OF.
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,已知点A(-2,0),B(8,0),连接AC,BC.
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标;
(2)点D是直线BC上方抛物线上的一点,过点D作DE⊥BC,垂足为E,求线段DE的长度最大时,点D的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点P(异于点A,B,C),使?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】
在复习《反比例函数》一课时,同桌的小明和小芳有一个间题观点不一致,小明认为如果两次分别从l到6六个整数中任取一个数,第一个数作为点的横坐标,第二个数作为点的纵坐标,则点在反比例函数的的图象上的概率一定大于在反比例函数的图象上的概率,而小芳却认为两者的概率相同.你赞成谁的观点?
(1)试用列表或画树状图的方法列举出所有点的情形;
(2)分别求出点在两个反比例函数的图象上的概率,并说明谁的观点正确.
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【题目】如图,在ABCD中,BC=2AB,E,F分别是BC,AD的中点,AE,BF交于点O,连接EF,OC.
(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若BC=8,∠ABC=60°,求OC的长.
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【题目】如图,点A,B在反比例函数y=(x>0)的图象上,点C,D在反比例函数y=(k>0)的图象上,AC∥BD∥y轴,已知点A,B的横坐标分别为1,2,△OAC与△ABD的面积之和为,则k的值为_____.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+3的图象分别与x轴交于点A(3,0),C(-1,0),与y轴交于点B.点D为二次函数图象的顶点.
(1)如图①所示,求此二次函数的关系式:
(2)如图②所示,在x轴上取一动点P(m,0),且1<m<3,过点P作x轴的垂线分别交二次函数图象、线段AD,AB于点Q、F,E,求证:EF=EP;
(3)在图①中,若R为y轴上的一个动点,连接AR,则BR+AR的最小值______(直接写出结果).
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【题目】甲、乙、丙3人聚会,每人带了一件礼物,3件礼物从外盒包装看完全相同,里面的东西只有颜色不同,将3件礼物放在一起.
(1)甲从中随机抽取一件,求甲抽到不是自己带来的礼物的概率;
(2)每人从中随机抽取一件,求甲、乙、丙3人抽到的都不是自己带来的礼物的概率.
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