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【题目】如图,抛物线yx2bxc的顶点为M,对称轴是直线x1,与x轴的交点为A(30)B.将抛物线yx2bxc绕点B逆时针方向旋转90°,点M1A1为点MA旋转后的对应点,旋转后的抛物线与y轴相交于CD两点.

(1)写出点B的坐标及求原抛物线的解析式:

(2)求证AMA1三点在同一直线上:

(3)设点P是旋转后抛物线上DM1之间的一动点,是否存在一点P,使四边形PM1MD的面积最大.如果存在,请求出点P的坐标及四边形PM1MD的面积;如果不存在,请说明理由.

【答案】12)见试题解析;(3P的坐标为(-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为

【解析】

试题(1)根据抛物线的对称性即可写出B的坐标,根据对称轴是直线x=1,与x轴的交点为A-30)代入即可得到方程组,解方程组即可求出bc的值,即可得到答案;

2)把x=1代入抛物线解析式即可得到M的坐标,根据旋转和图象即可求出M1A1的坐标,设直线AM的表达式为y=kx+m,把AM的坐标代入即可求出直线AM的解析式,根据以此函数图象上点的坐标特征确定点A1在直线AM上即可得到结论;

3)连接M1D,如图,由于SM1MD是定值,则要使四边形PM1MD的面积最大,只要SM1PD最大,将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,点P与点Q重合,点D与点F重合,利用旋转变换得点F的坐标为(-55),设点Q的坐标为(m),易得直线MF的表达式为y=,则根据三角形面积公式得到SPDM1=SQMF=-×5+1=,根据二次函数的性质得当m=-2时,当m=-2时,SM1PD最大=,则点Q-2-),利用旋转变换得点P的坐标为(-7),然后计算SDM1M的面积=24,再计算出四边形PM1MD的面积为24+=

试题(1)解:B与点A-30)关于直线x=1对称,

B的坐标为(50),与x轴的交点为A-30)代入即可得到方程组,解得

2)点M1的坐标为(9-4),点A1的坐标为(5-8),设直线AM的表达式为y=kx+m,把A-30),M1-4)代入解得,直线AM的解析式为y=-x-3,当x=5代入y=-x-3=-8A1在直线AM上,∴∠AMA1=180°

3)解:存在点P使四边形PM1MD的面积最大.

连接M1D,如图,∵SM1MD是定值,要使四边形PM1MD的面积最大,只要SM1PD最大,将△M1PD绕点B顺时针旋转90°,则点M1与点M重合,点P与点Q重合,点D与点F重合,则点QF都在抛物线y=上,由于F点的纵坐标为5,当y=5时,解得x1=-5x2=7(舍去),F的坐标为(-55),设点Q的坐标为(m)易得直线MF的表达式为y=

∴SPDM1=SQMF==

m=-2时,SM1PD最大=Q-2P的坐标为(-7),

M的坐标为(1-4),点M1的坐标为(9-4),D0-10),

∴SDM1M的面积=24四边形PM1MD的面积为24+=P的坐标为(-7)使四边形PM1MD的面积最大,面积最大值为

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