Question

【题目】如图，已知半圆O的直径AB＝4，沿它的一条弦折叠．若折叠后的圆弧与直径AB相切于点D，且AD：DB＝3：1，则折痕EF的长______．

Answer 1

【答案】．

【解析】

解：如图，过O作弦BC的垂线OP，垂足为D，分别与弧的交点为A、G，过切点F作PF⊥半径OC交OP于P点，

∵OP⊥BC，∴BD=DC，即OP为BC的中垂线. ∴OP必过弧BGC所在圆的圆心

又∵OE为弧BGC所在圆的切线，PF⊥OE，∴PF必过弧BGC所在圆的圆心

∴点P为弧BGC所在圆的圆心

∵弧BAC沿BC折叠得到弧BGC，∴⊙P为半径等于⊙O的半径，即PF=PG=OE=2，并且AD=GD

∴OG=AP

而F点分⊙O的直径为3：1两部分，∴OF=1

在Rt△OPF中，设OG=x，则OP=x+2，

∴OP2=OF2+PF2，即（x+2）2=12+22，解得x=

∴AG=2-（）=

∴DG=

∴OD=OG+DG=

在Rt△OBD中，BD2=OB2+OD2，即BD2=22-（）2，

∴BD=

∴BC=2BD=

故答案为：．