Question

【题目】如图，MN∥OP，点A为直线MN上一定点，B为直线OP上的动点，在直线MN与OP之间且在线段AB的右方作点D，使得AD⊥BD．设∠DAB＝α(α为锐角)．

(1)求∠NAD与∠PBD的和；(提示过点D作EF∥MN)

(2)当点B在直线OP上运动时，试说明∠OBD﹣∠NAD＝90°；

(3)当点B在直线OP上运动的过程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，请求出此时α的值

Answer 1

【答案】(1)∠NAD+∠PBD＝90°；(2)∠OBD﹣∠NAD＝90°；(3)α＝30°．

【解析】

（1）过点D作EF∥MN，则∠NAD=∠ADE，EF∥OP，依据平行线的性质可得到∠PBD=∠BDE，则∠NAD+∠PBD=∠ADB，最后，依据垂线的定义求解即可；

（2）由（1）得∠NAD=90°-∠PBD，然后结合∠OBD+∠PBD=180°，进行证明即可；

（3）先求得∠OBD的度数（用含α的式子表示），然后再利用（2）中的结论列方程求解即可．

(1)如图，过点D作EF∥MN，则∠NAD＝∠ADE．

∵MN∥OP，EF∥MN，

∴EF∥OP．

∴∠PBD＝∠BDE，

∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．

∵AD⊥BD，

∴∠ADB＝90°，

∴∠NAD+∠PBD＝90°．

(2)由(1)得：∠NAD+∠PBD＝90°，则∠NAD＝90°﹣∠PBD．

∵∠OBD+∠PBD＝180°，

∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，

∴∠OBD﹣∠NAD＝(180°﹣∠PBD)﹣(90°﹣∠PBD)＝90°．

(3)若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，则有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．

∵OP∥MN，

∴∠OBA＝∠NAB＝2α，

∴∠OBD＝4α．

由(2)知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，则4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．