Question

7．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．

Answer 1

分析 （1）由BD是△ABC的角平分线，DE∥AB，易证得△BDE是等腰三角形，且BE=DE；又由BE=AF，可得DE=AF，即可证得四边形ADEF是平行四边形；
（2）首先过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，由∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，可求得DG的产，继而求得DE的长，则可求得答案．

解答 （1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
∵BE=AF，
∴AF=DE；
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$×4=2，
∵BE=DE，
∴BH=DH=2，
∴BE=$\frac{BH}{cos30°}$=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴DE=$\frac{4}{3}\sqrt{3}$，
∴四边形ADEF的面积为：DE•DG=$\frac{8}{3}\sqrt{3}$．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法．