【题目】在平面直角坐标系中,矩形的边OA、OC分别落在x轴、y轴上,O为坐标原点,且OA=8,OC=4,连接AC,将矩形OABC对折,使点A与点C重合,折痕ED与BC交于点D,交OA于点E,连接AD,如图①.
(1)求点的坐标和
所在直线的函数关系式;
(2)的圆心
始终在直线
上(点
除外),且
始终与x轴相切,如图②.
①求证: 与直线AD相切;
②圆心在直线AC上运动,在运动过程中,能否与y轴也相切?如果能相切,求出此时
与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心
的坐标;如果不能相切,请说明理由.
【答案】(1)D(5,4);AD所在直线的函数关系式为.(2)①证明见解析;②M点的坐标为(
,
)
【解析】(1)设CE=t,
∵矩形OABC对折,使A与C重合(折痕为ED),OA=8,OC=4
∴CE=AE=t,∠AED=∠CED,
∴OE=OA-AE=8-t,
在Rt△OCE中,∵OE2+OC2=CE2,
∴42+(8-t)2=t2,解得t=5,
即CE=AE=5
∵BC//OA,
∴∠CDE=∠AED,
∴∠CDE=∠CED,
∴CD=CE=5.
∴D(5,4)
设直线AD的解析式 为y=kx+b,将A(8,0)、D(5,4)代入解析式可得
解得
AD所在直线的函数关系式为
(2)①∵四边形OABC为矩形,
∴BC//OA,
∴∠DCA=∠CAO,
又∵矩形OABC对折,使A与C重合(折痕为ED),
∴DE为AC的垂直平分线
∴CD=AD,
∴∠DCA=∠DAC,
∴∠DAC=∠CAO,
∴AC平分∠DAO,
∴AC上的点到直线AO和直线AD的距离相等,
∴M点到直线AO和直线AD的距离相等,
∵始终与x轴相切,
∴M点到直线AO的距离为半径r,
∴M点到直线AD的距离也为半径r,
∴直线AD与相切.……………………………………………………9分
②在直线AC上运动,在运动过程中,能与y轴也相切.
如果与y轴相切,可知圆心M到y轴的距离为半径,
由①可知M(8-2r,r)所以只需使8-2r=r,
即当r为时,
与x轴、y轴和直线AD都相切,
∴M点的坐标为(,
)
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【题目】已知ABCD的对角线AC与BD交于点O,下列结论不正确的是( )
A.当AB=BC时,ABCD是菱形
B.当AC⊥BD时,ABCD是菱形
C.当OA=OB时,ABCD是矩形
D.当∠ABD=∠CBD时,ABCD是矩形
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【题目】如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题:
(1)sin2A1+sin2B1= . sin2A2+sin2B2= .sin2A3+sin2B3= ;
(2)观察上述等式,猜想在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= ;
(3)如图④,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、 ∠C 的对边分别是a、b、c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想;
(4)已知∠A+∠B =90°且sinA=,求sinB.
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【题目】水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤6元的价格出售,每天可售出150斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出30斤,为保证每天至少售出360斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利450元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】已知A样本的数据如下:72,73,76,76,77,78,78,B样本的数据恰好是A样本数据每个都加2,则A,B两个样本的下列统计量对应相同的是( )
A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 众数
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