Question

【题目】在平面直角坐标系中，矩形的边OA、OC分别落在x轴、y轴上，O为坐标原点，且OA=8，OC=4，连接AC，将矩形OABC对折，使点A与点C重合，折痕ED与BC交于点D，交OA于点E，连接AD，如图①.

（1）求点的坐标和所在直线的函数关系式；

（2）的圆心始终在直线上（点除外），且始终与x轴相切，如图②.

①求证： 与直线AD相切；

②圆心在直线AC上运动，在运动过程中,能否与y轴也相切？如果能相切，求出此时与x轴、y轴和直线AD都相切时的圆心的坐标；如果不能相切，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）D（5,4）；AD所在直线的函数关系式为.（2）①证明见解析；②M点的坐标为（， ）

【解析】（1）设CE=t,

∵矩形OABC对折，使A与C重合（折痕为ED），OA=8，OC=4

∴CE=AE=t，∠AED=∠CED，

∴OE=OA-AE=8-t，

在Rt△OCE中，∵OE2+OC2=CE2，

∴42+(8-t)2=t2，解得t=5，

即CE=AE=5

∵BC//OA，

∴∠CDE=∠AED，

∴∠CDE=∠CED，

∴CD=CE=5.

∴D（5,4）

设直线AD的解析式 为y=kx+b，将A（8,0）、D（5,4）代入解析式可得

解得

AD所在直线的函数关系式为

（2）①∵四边形OABC为矩形，

∴BC//OA,

∴∠DCA=∠CAO,

又∵矩形OABC对折，使A与C重合（折痕为ED），

∴DE为AC的垂直平分线

∴CD=AD,

∴∠DCA=∠DAC,

∴∠DAC=∠CAO,

∴AC平分∠DAO,

∴AC上的点到直线AO和直线AD的距离相等，

∴M点到直线AO和直线AD的距离相等，

∵始终与x轴相切，

∴M点到直线AO的距离为半径r，

∴M点到直线AD的距离也为半径r，

∴直线AD与相切.……………………………………………………9分

②在直线AC上运动，在运动过程中,能与y轴也相切.

如果与y轴相切，可知圆心M到y轴的距离为半径，

由①可知M（8-2r,r）所以只需使8-2r=r，

即当r为时， 与x轴、y轴和直线AD都相切，

∴M点的坐标为（， ）