Question

6．△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE=CD，过点D作DF⊥BE于F．探究FC与BE间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 先根据△ABC是等边三角形，BD⊥AC可知∠DBE=30°，∠ACB=60°，再根据CE=CD可知∠CDE=∠E，由三角形外角的性质可知∠ACB=∠E+∠CDE=60°，故∠E=30°，故可得出∠E=∠DBE=30°，故BD=DE，再根据DF⊥BE可知BF=EF，即BF=$\frac{1}{2}$BE，由∠DFC=90°，∠ACB=60°，得到∠FDC=30°，根据直角三角形的性质得到CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$CE，推出CF=$\frac{1}{3}$EF，即可得到结论．

解答 证明：∵△ABC是等边三角形，BD⊥AC，
∴∠DBE=30°，∠ACB=60°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠E，
∵∠ACB是△CDE的外角，
∴∠ACB=∠E+∠CDE=60°，
∴∠E=30°，
∴∠E=∠DBE=30°，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形，
∵DF⊥BE，
∴BF=EF，即BF=$\frac{1}{2}$BE，
∵∠DFC=90°，∠ACB=60°，
∴∠FDC=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴CF=$\frac{1}{3}$EF，
∴CF=$\frac{1}{6}$BE．

点评 本题考查的是等边三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出△BDE是等腰三角形是解答此题的关键．