Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上中点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．

（1）求证：DF=AC

（2）试判断四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）四边形BECD是菱形，理由见详解.

【解析】

（1）由题意根据平行线定义与性质以及中位线的性质判断出DF为Rt△ABC的中位线即可求证；

（2）根据题意先利用平行四边形的判定得出四边形BECD是平行四边形，再证明CD=BD即可求证四边形BECD是菱形.

解：（1）证明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE⊥BC，

∴AC∥DE，

∵D为AB边上中点，

∴DF为Rt△ABC的中位线，

∴DF=AC.

（2）四边形BECD是菱形，理由如下：

∵D为AB中点，

∴AD=BD．

∵MN∥AB, ∠ACB=90°, DE⊥BC,

∴CA∥DE, 四边形ADEC是平行四边形，

∴CE=AD，BD=CE．

∵BD∥CE，

∴四边形BECD是平行四边形．

∵∠ACB=90°，D为AB中点，

∴CD=BD，

∴四边形BECD是菱形.