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【题目】如图,过原点的直线y1mxm0)与反比例函数y2 k0)的图象交于AB两点,点A在第二象限,且点A的横坐标为﹣1,点Dx轴负半轴上,连接AD交反比例函数图象于另一点EAC为∠BAD的平分线,过点BAC的垂线,垂足为C,连接CE,若AD2DE,△AEC的面积为

1)根据图象回答:当x取何值时,y1y2

2)求△AOD的面积;

3)若点P的坐标为(mk),在y轴的轴上是否存在一点M,使得△OMP是直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】1)﹣1x0x1;(23;(3)存在,点M的坐标为(0.﹣2)或(0,﹣4).

【解析】

1)根据题意得到点A,点B关于原点对称,求得点B的横坐标为1,于是得到当x取﹣1x0x1时,y1y2

2)连接OCOE,求得OAOB,得到∠OAC=∠OCA,根据角平分线的定义得到∠OAC=∠DAC,推出AD//OC,得到 ,即可得到答案;

3)作EFx轴于FAHx轴于H,则EF//AH,求得DFFH,根据三角形中位线定理得到EF AH,求得y=﹣,得到A(﹣12),于是得到P(﹣2,﹣2),根据直角三角形的性质即可得到结论.

解:(1)∵直线 mxm0)与反比例函数k0)的图象交于AB两点,且点A的横坐标为﹣1

∴点A,点B关于原点对称,

∴点B的横坐标为1

∴当x取﹣1x0x1时,y1y2

2)连接OCOE

由图象知,点A,点B关于原点对称,

OAOB

ACCB

∴∠ACB90°,

OC ABAO

∴∠OAC=∠OCA

AC为∠BAD的平分线,

∴∠OAC=∠DAC

∴∠OCA=∠DAC

AD//OC

AD2DE

AEDE

3)作EFx轴于F,作AHx轴于H,如上图,

EF//AH

AD2DE

DEEA

EF//AH

DFFH

EF是△DHA的中位线,

EF AH

OFEFOHHA

OH OF

OHHF

DFFHHO DO

k=﹣2

y

∵点Ay的图象上,

∴把x=﹣1代入得,y2

A(﹣12),

∵点A在直线ymx上,

m=﹣2

P(﹣2,﹣2),

y轴上找到一点M,使得△OMP是直角三角形,

当∠OMP90°时,PMy轴,

OM2

∴点M的坐标为(0.﹣2);

当∠OPM90°时,过PPGy轴于G,则△OPM是等腰直角三角形,

OM2PG4

∴点M的坐标为(0.﹣4);

综上所述,点M的坐标为(0.﹣2)或(0,﹣4).

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