【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ax2+2ax+c与x轴相交于A(﹣1,0)、B两点(A点在B点左侧),与y轴相交于点C(0,3),点D是抛物线的顶点.
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图1,点F(0,b)在y轴上,连接AF,点Q是线段AF上的一个动点,P是第一象限抛物线上的一个动点,当b=﹣时,求四边形CQBP面积的最大值与点P的坐标;
(3)如图2,点C1与点C关于抛物线对称轴对称.将抛物线y沿直线AD平移,平移后的抛物线记为y1,y1的顶点为D1,将抛物线y1沿x轴翻折,翻折后的抛物线记为y2,y2的顶点为D2.在(2)的条件下,点P平移后的对应点为P1,在平移过程中,是否存在以P1D2为腰的等腰△C1P1D2,若存在请直接写出点D2的横坐标,若不存在请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)当m=时,S四边形CQBP取得最大值,此时P点坐标为(,);(3)存在,满足要求的D2的横坐标有:,,,.
【解析】
(1)将A、C两点坐标代入抛物线解析式当中求出a与c的值即可;
(2)先求出B、F坐标,然后可以证明AF与BC平行,于是△QBC的面积就等于△ABC的面积,问题就转化为求△PBC的面积的最大值,作PE∥y轴交直线BC于E,设P点的横坐标为未知数m,将E点坐标也用m表示,PE的长度用P、E纵坐标之差表示,于是△PBC的面积就可以表示成关于m的二次函数,通过配方法即可求出最值及P点坐标.
(3)由于限定了以P1D2为腰,因此分两大类分别列方程计算即可.
(1)将A(﹣1,0)、C(0,3)代入抛物线解析式得:
解得:,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)如图1,连接BC,AC,作PE∥y轴交BC于E.
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x+1)(x﹣3).
∴B(3,0),
∵b=﹣,
∴F(0,﹣),
∴=,
∴AF∥BC,
∴S△QBC=S△ABC=ABOC=6,
由B、C两点坐标可得直线BC的解析式为:y=﹣x+3,
设P(m,﹣m2+2m+3),则E(m,﹣m+3),
PE=yP﹣yE=﹣m2+4m,
∴S△PBC=(xB﹣xC)(yP﹣yE)=﹣m2+6m=﹣(m﹣)2+,
∴S四边形CQBP=S△QBC+S△PBC=S△ABC+S△PBC=﹣(m﹣)2+,
∴当m=时,S四边形CQBP取得最大值,此时P点坐标为(,).
(3)∵y=﹣x2+2x+3=,
∴D(1,4),抛物线对称轴为x=1,
∵C1与C关于直线x=1对称,
∴C1(2,3),
由A、D两点坐标可求得直线AD的解析式为y=2x+2,
设D1(m,2m+2),
则P1(m+,2m+),D2(m,﹣2m﹣2),
∴,,
,
当P1C1=P1D2时,=,解得,.
当C1D2=P1D2时,9m2+36m+54=,解得,.
综上所述,满足要求的D2的横坐标有:,,,.
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【题目】如图,过原点的直线y1=mx(m≠0)与反比例函数y2= (k<0)的图象交于A、B两点,点A在第二象限,且点A的横坐标为﹣1,点D在x轴负半轴上,连接AD交反比例函数图象于另一点E,AC为∠BAD的平分线,过点B作AC的垂线,垂足为C,连接CE,若AD=2DE,△AEC的面积为.
(1)根据图象回答:当x取何值时,y1<y2;
(2)求△AOD的面积;
(3)若点P的坐标为(m,k),在y轴的轴上是否存在一点M,使得△OMP是直角三角形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】随着生活水平的日益提高,人们越来越喜欢过节,节日的仪式感日渐浓烈,某校举行了“母亲节暖心特别行动”,从中随机调查了部分同学的暖心行动,并将其分为A,B,C,D四种类型(分别对应送服务、送鲜花、送红包、送话语).现根据调查的数据绘制成如下的条形统计图和扇形统计图.
请根据以上不完整的统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)该校共抽查了多少名同学的暖心行动?
(2)求出扇形统计图中扇形B的圆心角度数?
(3)若该校共有2400名同学,请估计该校进行送鲜花行动的同学约有多少名?
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【题目】时代中学从学生兴趣出发,实施体育活动课走班制.为了了解学生最喜欢的一种球类运动,以便合理安排活动场地,在全校至少喜欢一种球类(乒乓球、羽毛球、排球、篮球、足球)运动的1200名学生中,随机抽取了若干名学生进行调查(每人只能在这五种球类运动中选择一种).调查结果统计如下:
球类名称 | 乒乓球 | 羽毛球 | 排球 | 篮球 | 足球 |
人数 | 42 | 15 | 33 |
解答下列问题:
(1)这次抽样调查中的样本是________;
(2)统计表中,________,________;
(3)试估计上述1200名学生中最喜欢乒乓球运动的人数.
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【题目】某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发,以各自的速度匀速向乙地行驶,快递车到达乙地后卸完物品再另装货物共用45分钟,立即按原路以另一速度匀速返回,直至与货车相遇.已知货车的速度为60千米/时,两车之间的距离y(千米)与货车行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示,现有以下4个结论:
①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时;
②甲、乙两地之间的距离为120千米;
③图中点B的坐标为(,);
④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时,
以上4个结论正确的是________.
A.①②③④B.①③④C.①③D.①②④
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【题目】A、B两地相距150km,甲、乙两人先后从A地出发向B地行驶,甲骑摩托车匀速行驶,乙开汽车且途中速度只改变一次,如图表示的是甲、乙两人之间的距离S关于时间t的函数图象(点F的实际意义是乙开汽车到达B地),请根据图象解答下列问题:
(1)求出甲的速度;
(2)求出乙前后两次的速度,并求出点E的坐标;
(3)当甲、乙两人相距10km时,求t的值.
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【题目】如图,等边三角形的边长为4,点是△的中心,.绕点旋转,分别交线段于两点,连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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