【题目】如图,等边三角形的边长为4,点是△的中心,.绕点旋转,分别交线段于两点,连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
连接BO,CO,可以证明△OBD≌△OCE,得到BD=CE,OD=OE,从而判断①正确;
通过特殊位置,当D与B重合时,E与C重合,可判断△BDE的面积与△ODE的面积的大小,从而判断②错误;
由△OBD≌△OCE,得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积,从而判断③正确;
过D作DI⊥BC于I.设BD=x,则BI=,DI=.由BD=EC,BC=4,得到BE=4-x,IE= .在Rt△DIE中,DE== =,△BDE的周长=BD+BE+DE= 4+DE,当DE最小时,△BDE的周长最小,从而判断出④正确.
连接BO,CO,过O作OH⊥BC于H.
∵O为△ABC的中心,∴BO=CO,∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°,∠BOC=120°.
∵∠DOE=120°,∴∠DOB=∠COE.在△OBD和△OCE中,∵∠DOB=∠COE,OB=OC,∠DBO=∠ECO,∴△OBD≌△OCE,∴BD=CE,OD=OE,故①正确;
当D与B重合时,E与C重合,此时△BDE的面积=0,△ODE的面积>0,两者不相等,故②错误;
∵O为中心,OH⊥BC,∴BH=HC=2.
∵∠OBH=30°,∴OH=BH=,∴△OBC的面积==.
∵△OBD≌△OCE,∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=,故③正确;
过D作DI⊥BC于I.设BD=x,则BI=,DI=.
∵BD=EC,BC=4,∴BE=4-x,IE=BE-BI=.在Rt△DIE中,DE== = =,当x=2时,DE的值最小为2,△BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DE,当DE最小时,△BDE的周长最小,∴△BDE的周长的最小值=4+2=6.故④正确.
故选C.
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【题目】某汽车制造厂开发一款新式电动汽车,计划一年生产安装辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车;名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?
(2)如果工厂招聘名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
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【题目】已知:如图EF∥CD,∠1+∠2=180°.
(1)试说明GD∥CA;
(2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=40°,求∠ACB的度数.
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【题目】小敏思考解决如下问题:
原题:如图1,点,分别在菱形的边,上,,求证:.
(1)小敏进行探索,若将点,的位置特殊化:把绕点旋转得到,使,点,分别在边,上,如图2,此时她证明了.请你证明.
(2)受以上(1)的启发,在原题中,添加辅助线:如图3,作,,垂足分别为,.请你继续完成原题的证明.
(3)如果在原题中添加条件:,,如图1.请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案(根据编出的问题层次,给不同的得分).
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【题目】如图是某月的月历,用如图恰好能完全遮盖住月历表中的五个数字,设带阴影的“”形中的5个数字的最小数为a.
请用含a的代数式表示这5个数;
这五个数的和与“”形中心的数有什么关系?
盖住的5个数字的和能为105吗?为什么?
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接AO并延长,交DC延长线于点E,连接AC,BE.
(1)求证:四边形ABEC是平行四边形;
(2)当∠D=50°,∠AOC=100°时,判断四边形ABEC的形状,并说明理由.
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【题目】(题文)如图,某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度,从旗杆正前方2m处的点C出发,沿斜面坡度i=1∶的斜坡CD前进4m到达点D,在点D处安置测角仪,测得旗杆顶部A的仰角为37°,量得仪器的高DE为1.5 m.已知A,B,C,D,E在同一平面内,AB⊥BC,AB∥DE.求旗杆AB的高度.(参考数据:sin37°≈,cos37°≈,tan37°≈,计算结果保留根号)
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