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【题目】如图,等边三角形的边长为4,的中心,.绕点旋转,分别交线段两点,连接,给出下列四个结论:;;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】C

【解析】

连接BOCO可以证明OBD≌△OCE得到BD=CEOD=OE从而判断①正确

通过特殊位置DB重合时EC重合可判断BDE的面积与ODE的面积的大小从而判断②错误

OBD≌△OCE得到四边形ODBE的面积=△OBC的面积从而判断③正确

DDIBCI.设BD=xBI=DI=BD=ECBC=4得到BE=4xIE= .在RtDIEDE== =,△BDE的周长=BD+BE+DE= 4+DEDE最小时,△BDE的周长最小从而判断出④正确.

连接BOCOOOHBCH

O为△ABC的中心,∴BO=CO,∠DBO=∠OBC=∠OCB=30°,∠BOC=120°.

∵∠DOE=120°,∴∠DOB=∠COE在△OBD和△OCE中,∵DOB=∠COEOB=OC,∠DBO=∠ECO,∴△OBD≌△OCE,∴BD=CEOD=OE故①正确

DB重合时EC重合此时△BDE的面积=0,△ODE的面积>0两者不相等故②错误

O为中心OHBC,∴BH=HC=2

∵∠OBH=30°,∴OH=BH=,∴△OBC的面积==

∵△OBD≌△OCE∴四边形ODBE的面积=△OBC的面积=故③正确

DDIBCIBD=xBI=DI=

BD=ECBC=4,∴BE=4xIE=BE-BI=.在RtDIEDE== = =x=2DE的值最小为2,△BDE的周长=BD+BE+DE=BE+EC+DE=BC+DE=4+DEDE最小时,△BDE的周长最小,∴△BDE的周长的最小值=4+2=6故④正确

故选C

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