【题目】如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,连接AO并延长,交DC延长线于点E,连接AC,BE.
(1)求证:四边形ABEC是平行四边形;
(2)当∠D=50°,∠AOC=100°时,判断四边形ABEC的形状,并说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)四边形ABEC是矩形,理由见解析.
【解析】
(1)由平行四边形的性质可得AB∥CD,可得∠BAO=∠CEO,∠ABO=∠ECO,由“AAS”可证△ABO≌△ECO,可得AO=EO,即可证四边形ABEC是平行四边形;
(2)由平行四边形的性质和三角形外角性质可证AO=BO,可得AE=BC,即可得四边形ABEC是矩形.
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,
∴∠BAO=∠CEO,∠ABO=∠ECO,
∵点O是边BC的中点,
∴BO=CO,且∠BAO=∠CEO,∠ABO=∠ECO,
∴△ABO≌△ECO(AAS),
∴AO=EO,且BO=CO,
∴四边形ABEC是平行四边形;
(2)四边形ABEC是矩形,
理由如下:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠ABC=∠D=50°,
∵∠AOC=∠ABC+∠BAO=100°,
∴∠ABC=∠BAO=50°,
∴AO=BO,
∴AE=BC,
∴ABEC是矩形.
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【题目】如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,则AD∥BE.完成下列推理过程:
证明:∵AB∥CD(已知)
∴∠4= ( )
∵∠3=∠4(已知)
∴∠3= ( )
∵∠1=∠2(已知)
∴∠CAE+∠1=∠CAE+∠2
即∠ =∠
∴∠3=
∴AD∥BE( )
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【题目】如图,等边三角形的边长为4,点是△的中心,.绕点旋转,分别交线段于两点,连接,给出下列四个结论:①;②;③四边形的面积始终等于;④△周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】(10分)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上,OC=3,OA=,D是BC的中点,将△OCD沿直线OD折叠后得到△OGD,延长OG交AB于点E,连接DE,则点G的坐标为 .
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【题目】如图,在数轴上点对应的数为,点对应的数为8,点对应的数为,为原点.
(1)两点的距离是_____;
(2)若点以每秒5个单位长度的速度沿数轴正方向运动,则2秒时,两点的距离是_____;
(3)若点都以每秒4个单位长度的速度沿数轴正方向运动,而点不动,秒时,中有一点是三点所在线段的中点,求的值.
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【题目】P是三角形 内一点,射线PD//AC ,射线PB//AB .
(1)当点D,E分别在AB,BC 上时,
①补全图1:
②猜想 与 的数量关系,并证明;,
(2)当点都在线段上时,请先画出图形,想一想你在(1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由
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