【题目】小敏思考解决如下问题：
原题：如图1，点
，
分别在菱形
的边
，
上，
，求证：
.
（1）小敏进行探索，若将点，的位置特殊化：把
绕点
旋转得到
，使
，点
，
分别在边，上，如图2，此时她证明了
.请你证明.
（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，
，垂足分别为，.请你继续完成原题的证明.
（3）如果在原题中添加条件：
，
，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析
【解析】（1）证明
，即可求证
.
（2）如图2，
，即可求证
.
（3）不唯一.
【解答】（1）如图1，
在菱形
中，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
，
∴，
∴.
（2）如图2，由（1），∵
，
∴
，
∵，
，
∴
，
∵，
∴
，
∴.
（3）不唯一，举例如下：
层次1：①求
的度数.答案：
.
②分别求
，
的度数.答案：
.
③求菱形的周长.答案：16.
④分别求
，
，
的长.答案：4，4，4.
层次2：①求
的值.答案：4.
②求
的值.答案：4.
③求
的值.答案：
.
层次3：①求四边形
的面积.答案：
.
②求
与
的面积和.答案：.
③求四边形周长的最小值.答案：
.
④求
中点运动的路径长.答案：
.
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【题目】让我们轻松一下，做一个数字游戏。第一步：取一个自然数n1=5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a2；第三步，算出a2的各位数字之和得n3，计算n32＋1得a3；…………以此类推，则a2019=__________.
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则AD∥BE．完成下列推理过程：
证明：∵AB∥CD（已知）
∴∠4＝ （ ）
∵∠3＝∠4（已知）
∴∠3＝ （ ）
∵∠1＝∠2（已知）
∴∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2
即∠ ＝∠
∴∠3＝
∴AD∥BE（ ）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，直线y=
x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B．
（1）求△AOB的面积；
（2）过B点作直线BC与x轴相交于点C，若△ABC的面积是16，求点C的坐标．
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示，将矩形ABCD纸对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线MN上，（如图点B’），若
，则折痕AE的长为（ ）
A. 
B. 
C. 2 D. 
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．
（1）试说明AB∥DE；
（2）AF与DC的位置关系如何；为什么；
（3）若∠B＝68°，∠C＝46°20′，求∠2的度数．
注：本题第（1）、（2）小题在下面的解答过程的空格内填写理由或数学式；第（3）小题要写出解题过程．
解：
（1）∵AD∥BC，（已知）
∴∠1＝∠ ． （ ）
又∵∠1＝∠B，（已知）
∴∠B＝∠ ，（等量代换）
∴ ∥ ． （ ）
（2）AF与DC的位置关系是： ．理由如下：
∵AB∥DE，（已知）
∴∠2＝∠ ． （ ）
又∵∠2＝∠3，（已知）
∴∠ ＝∠ ．（等量代换）
∴ ∥ ． （ ）
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】如图，等边三角形
的边长为4,点
是△的中心，
.绕点
旋转
,分别交线段
于
两点，连接
,给出下列四个结论:①
;②
;③四边形
的面积始终等于
;④△
周长的最小值为6,上述结论中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目：初中数学 来源： 题型：
【题目】（10分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
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