Question

【题目】如图，二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A和点B（1，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）求二次函数的解析式及点A的坐标；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值；

（3）在P，Q运动过程中，求当△DPE与以D，C，Q为顶点的三角形相似时t的值；

（4）是否存在t，使△DCQ沿DQ翻折得到△DC′Q，点C′恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3，点A的坐标为（﹣3，0）；

（2）点P位于AO的中点时，线段OE的长有最大值；

（3）t=1或3或，

（4）存在t=．

【解析】试题分析：(1)先将点B的坐标代入解析式求得c的值确定二次函数解析式,令y=0即可求得A点坐标.

(2)由DP⊥PE证得△DAP∽△POE,用比例式表示出y与t的关系,根据函数图象的性质可求得OE的最大值.

(3)需要分类讨论:根据t的不同取值得出相似三角形,再由相似的性质可得t的取值.

(4)先证明△DCQ≌DC′Q,从而得到∠CDQ=∠C′DQ,DC′=DC=4,再得出∠CDQ=30°,即可求得满足条件的t值.

解：（1）把B（1，0）代入y=x2+2x+c得c=﹣3，

∴y=x2+2x﹣3，

由x2+2x﹣3=0得x1=﹣3，x2=1，

∴点A的坐标为（﹣3，0）．

（2）如图（2），由正方形ABCD得AD=AB=4，

由DP⊥PE证得△DAP∽△POE，

∴，设OE=y，则，

∴y==﹣（t﹣）2+，

∵a=﹣1＜0，

∴当t=时（属于0＜t＜）时，y最大=，此时2t=，即点P位于AO的中点时，

∴线段OE的长有最大值．

（3）①如图①，当0＜t＜时，△DPE∽△DCQ，

∴．又△ADP∽△OPE，

∴，

∴．即，解得t=1，

经检验：t=1是原方程的解．

②如图②，当时，同理证得△ADP∽△OPE，

∴，

即，解得t=3．经检验：t=3是原方程的解．

③如图③，当时，△DPE∽△QCD，

∴，

同理得，

∴．即，解得t1=t2=（经检验：舍去t2=），

综上所述，t=1或3或，

（4）存在t=．

理由如下：如图

由△DCQ沿DQ翻折得△DC′Q，则△DCQ≌△DC′Q，

∴∠CDQ=∠C′DQ，DC′=DC=4，

设抛物线的对称轴交DC于G，则DG=2．在Rt△DC′G中，

∵C′D=2DG，

∴∠C′DG=60°，

∴∠CDQ=×60°=30°，

∴CQ=，即t=．