Question

一条直线y₁=kx+b（k≠0）与x轴交于点E，与y轴交于点F（0，1），且∠FEO=45°．
（1）求这条直线的解析式；
（2）求这条直线与直线y=-2x+4的交点P的坐标，且直线y=-2x+4与x轴交于A；
（3）求四边形AOFP的面积．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）利用△FOE为等腰直角三角形得到OE=OF=1，则E点坐标为（-1，0）或（1，0），然后利用待定系数法求出两种情况下的直线解析式；
（2）根据两直线相交的问题解由两直线解析式所组成的方程组得到它们的交点坐标；
（3）根据画图得到只有直线解析式为y=x+1时，才得到四边形AOFP，然后两三角形面积的差计计算四边形AOFP的面积．

解答：解：（1）∵∠FEO=45°，
∴△FOE为等腰直角三角形，
∴OE=OF=1，
∴E点坐标为（-1，0）或（1，0），
把E（-1，0）、F（0，1）代入线y₁=kx+b得

k-b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，则直线解析式为y=x+1；
把E（1，0）、F（0，1）代入线y₁=kx+b得

k+b=0 b=1

，解得

k=-1 b=1

，则直线解析式为y=-x+1；
（2）当直线解析式为y=x+1时，解方程组

y=x+1 y=-2x+4

得

x=1 y=2

，所以P点坐标为（1，2）；
当直线解析式为y=-x+1时，解方程组

y=-x+1 y=-2x+4

得

x=3 y=-2

，所以P点坐标为（3，-2）；
（3）只有直线解析式为y=x+1时，才得到四边形AOFP，
四边形AOFP的面积=S_△PAE-S_△OEF
=

1

2

×（2+1）×2-

1

2

×1×1
=

5

2

．

点评：本题考查了两直线相交或平行的问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．