Question

11．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，△ABO≌△CDO．若∠ABO=∠DCO，求证：四边形ABCD为矩形．

Answer 1

分析 根据全等三角形的对应边相等可得AO=CO，BO=DO，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明，再根据全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠DCO，所以∠ABO=∠BAO，再根据等角对等边的性质可得AO=BO，从而得到AC=BD，然后根据对角线相等的平行四边形是矩形证明．

解答 证明：∵△ABO≌△CDO，
∴AO=CO，BO=DO，
∴AC、BD互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∵△ABO≌△CDO，
∴∠BAO=∠DCO，
∵∠ABO=∠DCO，
∴∠ABO=∠BAO，
∴AO=BO，
又∵AO=CO，BO=DO，
∴AC=BD，
∴?ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．

点评 本题考查了矩形的判定，全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，注意全等三角形对应顶点的字母放在对应位置上是准确找出对应角与对应边的关键．