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【题目】在菱形ABCD中,E是对角线AC上的一个动点,连结BE并延长交直线AD于点F

(1)AB10sinBAC

①求对角线AC的长;

②若BE4,求AE的长;

(2)若点F在边AD上,且k,△BEC和四边形ECDF的面积分别是S1S2,求的最大值.

【答案】(1)AC=12;②AE′=8(2)的最大值为

【解析】

(1)①连接BD,根据菱形的性质得到AOOCACBD,根据正弦的定义、勾股定理计算,得到答案;

②分点F在边AD上、点F在边AD的延长线上两种情况,根据勾股定理计算;

(2)连接DE,证明BCE≌△DCE,设BCE的面积为S,根据相似三角形的性质求出SAEFSEFD,根据二次函数的性质计算即可.

解:(1)①如图1,连接BD

∵四边形ABCD是菱形,

AOOCACBD

RrAOB中,sinBAC,即

解得,OB8

由勾股定理得,AO6

AC2OA12

②当点F在边AD上时,OE4

AEOAOE2

当点F′在边AD的延长线上时,AE′OA+OE′8

(2)如图2,连接DE

∵四边形ABCD是菱形,

CBCD,∠ACB=∠ACD

BCEDCE中,

∴△BCE≌△DCE(SAS)

BCE的面积为S,则DCE的面积为S

AFBC

∴△AEF∽△CEB

k2,即SAEFk2S

k

解得,SEFDkSk2S

=﹣k2+k+1=﹣(k)2+

k时,的最大值为

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