【题目】在菱形ABCD中,E是对角线AC上的一个动点,连结BE并延长交直线AD于点F.
(1)若AB=10,sin∠BAC=;
①求对角线AC的长;
②若BE=4,求AE的长;
(2)若点F在边AD上,且=k,△BEC和四边形ECDF的面积分别是S1和S2,求的最大值.
【答案】(1)①AC=12;②AE′=8;(2)的最大值为.
【解析】
(1)①连接BD,根据菱形的性质得到AO=OC,AC⊥BD,根据正弦的定义、勾股定理计算,得到答案;
②分点F在边AD上、点F在边AD的延长线上两种情况,根据勾股定理计算;
(2)连接DE,证明△BCE≌△DCE,设△BCE的面积为S,根据相似三角形的性质求出S△AEF、S△EFD,根据二次函数的性质计算即可.
解:(1)①如图1,连接BD,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AO=OC,AC⊥BD,
在Rr△AOB中,sin∠BAC=,即,
解得,OB=8,
由勾股定理得,AO==6,
则AC=2OA=12;
②当点F在边AD上时,OE==4,
则AE=OA﹣OE=2,
当点F′在边AD的延长线上时,AE′=OA+OE′=8;
(2)如图2,连接DE,
∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,∠ACB=∠ACD,
在△BCE和△DCE中,
,
∴△BCE≌△DCE(SAS)
设△BCE的面积为S,则△DCE的面积为S,
∵AF∥BC,
∴△AEF∽△CEB,
∴=k2,即S△AEF=k2S,
∵=k,
∴,
∴,
解得,S△EFD=kS﹣k2S,
==﹣k2+k+1=﹣(k﹣)2+,
当k=时,的最大值为.
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【题目】甲、乙两个工程队计划修建一条长18千米的乡村公路,已知甲工程队比乙工程队每天多修路0.6千米,乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍.
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米?
(2)若甲工程队每天的修路费用为0.6万元,乙工程队每天的修路费用为0.5万元,要使两个工程队修路总费用不超过6.3万元,甲工程队至少修路多少天?
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【题目】某挖掘机的底座高AB=0.8米,动臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC与CD的固定夹角∠BCD=140°.初始位置如图1,斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E,测得∠CDE=70°(示意图2).工作时如图3,动臂BC会绕点B转动,当点A,B,C在同一直线时,斗杆顶点D升至最高点(示意图4).
(1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数.
(2)问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米(精确到0.1米)?
(考数据:sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,)
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【题目】如图,一艘轮船航行到 B 处时,测得小岛 A 在船的北偏东 60°的方向,轮船从 B 处继续向正东方向航行 20 海里到达 C 处时,测得小岛 A 在北船的北偏东 30°的方向.
(1)若小岛 A 到这艘轮船航行路线 BC 的距离是 AD,求 AD 的长.
(2)已知在小岛周围 17 海里内有暗礁,若轮船不改变航向继续向前行驶,试问轮船有无触礁的危险?(≈1.732)
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,点D在边AB上,DE∥BC,与边AC交于点E,将△ADE沿着DE所在的直线对折,得到△FDE,连结BF.记△ADE,△BDF的面积分别为S1,S2,若BD>2AD,则下列说法错误的是( )
A. 2S2>3S1B. 2S2>5S1C. 3S2>7S1D. 3S2>8S1
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【题目】如图,E是长方形ABCD的边AB上的点,EF⊥DE交BC于点F
(1)求证:△ADE∽△BEF;
(2)设H是ED上一点,以EH为直径作⊙O,DF与⊙O相切于点G,若DH=OH=3,求图中阴影部分的面积(结果保留到小数点后面第一位,≈1.73,π≈3.14).
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【题目】如图,以正五边形的顶点为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点,再以点为圆心,为半径作圆弧交的延长线于,依次进行……得到螺旋线,再顺次连结,,,,,得到5块阴影区域,若记它们的面积分别为,,,,,且满足,则的值为( )
A. B. C. D.
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【题目】某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度图中线段MN的长,直线MN垂直于地面,垂足为点在地面A处测得点M的仰角为、点N的仰角为,在B处测得点M的仰角为,米,且A、B、P三点在一直线上请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.
参考数据:,,,,,
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【题目】2018年某新品牌牛奶公司为了宣传其公司牛奶的销售量大,把该品牌牛奶的销售量与其他品牌牛奶的销售量对比绘制了如图K-28-3所示的广告,并形象地用牛奶瓶代替条形图,从销售量来看,新品牌牛奶的销售量是其他品牌牛奶的2倍.请分析这个图合理吗.
答:________,理由是______________________________.
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