Question

【题目】如图，以正五边形的顶点为圆心，为半径作圆弧交的延长线于点，再以点为圆心，为半径作圆弧交的延长线于，依次进行……得到螺旋线，再顺次连结，，，，，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为，，，，，且满足，则的值为（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题意得，五个扇形的圆心角相等，所以面积比是半径比的平方，根据面积比可表示出五个扇形面积，再根据底相等的三角形面积比等于高的比求出五个三角形的面积比并表示出来，从而分别求出各个阴影部分的面积，再根据即可求解.

解：因为扇形AEA′、扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′圆心角相等，都是72°，半径分别是正五边形半径、半径的二倍、三倍、四倍、五倍，

由扇形面积公式可得，五个扇形面积从小到大的比是1:4:9:16:25，设：扇形AEA′的面积=m，则扇形BB′A′、扇形CC′B′、扇形DD′C′、扇形EE′D′的面积依次为：4m、9m、16m、25m；△AEA′、△BB′A′、△CC′B′、△DD′C′、△EE′D′中，AE=AB=BC=CD=DE，AA′：BB′：CC′：DD′：EE′=1:2：3:4:5，五个三角形分别以AE、AB、BC、CD、DE为底，易证五个三角形的面积比依次为：1:2：3:4:5，设S△AEA′=n，

则S△BB′A′=2n、S△CC′B′=3n、S△DD′C′=4n、S△EE′D′=5n，所以S5=25m-5n ， S2=4m-2n ， S4=16m-4n ， S3=9m-3n ， 因为，所以（25m-5n）-（4m-2n）=1，解得：7m-n=，所以=（16m-4n）-（9m-3n）=7m-n=.

故选：D.