Question

【题目】如图，E是长方形ABCD的边AB上的点，EF⊥DE交BC于点F

（1）求证：△ADE∽△BEF；

（2）设H是ED上一点，以EH为直径作⊙O，DF与⊙O相切于点G，若DH＝OH＝3，求图中阴影部分的面积（结果保留到小数点后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）图中阴影部分的面积约为6.2．

【解析】

（1）由条件可证∠AED＝∠EFB，从而可证△ADE∽△BEF．

（2）由DF与⊙O相切，DH＝OH＝OG＝3可得∠ODG＝30°，从而有∠GOE＝120°，并可求出DG、EF长，从而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面积，进而可以求出图中阴影部分的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝90°．

∵EF⊥DE，

∴∠DEF＝90°．

∴∠AED＝90°﹣∠BEF＝∠EFB．

∵∠A＝∠B，∠AED＝∠EFB，

∴△ADE∽△BEF．

（2）解：∵DF与⊙O相切于点G，

∴OG⊥DG．

∴∠DGO＝90°．

∵DH＝OH＝OG，

∴sin∠ODG＝．

∴∠ODG＝30°．

∴∠GOE＝120°．

∴S扇形OEG＝＝3π．

在Rt△DGO中，

cos∠ODG＝．

∴DG＝3．

在Rt△DEF中，

tan∠EDF＝．

∴EF＝3．

∴S△DEF＝，

S△DGO＝．

∴S阴影＝S△DEF﹣S△DGO﹣S扇形OEG

＝﹣3π

＝.9﹣3π

≈9×1.73﹣3×3.14

＝6.15

≈6.2

∴图中阴影部分的面积约为6.2．