Question

【题目】王亮同学善于改进学习方法，他发现对解题过程进行回顾反思，效果会更好．某一天他利用30分钟时间进行自主学习．假设他用于解题的时间x(单位：分钟)与学习收益量y的关系如图甲所示，用于回顾反思的时间x(单位：分钟)与学习收益量z的关系为z=，且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．

(1)求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)王亮如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这30分钟的学习收益总量最大？(学习收益总量＝解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)

Answer 1

【答案】(1)y=2x. 自变量x的取值范围是：15≤x≤30；(2)解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．

【解析】

（1）设王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式为y＝kx，观察图象可知该函数图象过点（2,4），代入即可求得k值，由此即可求得函数解析式，根据题意直接确定x的取值范围即可；（2）设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟，学习效益总量为W，分当0≤x≤5时和当5＜x≤15时两种情况求得w与x的函数关系式，根据函数的性质求得w的最大值，比较即可解答.

解：(1)设y＝kx，把(2，4)代入，

得：k=2，

∴y=2x.

自变量x的取值范围是：15≤x≤30．

(2)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x≤15)分钟，学习效益总量为W，

则他用于解题的时间为(30﹣x)分钟．

当0≤x≤5时，W＝﹣x2+10x+2(30﹣x)＝﹣x2+8x+60＝﹣(x﹣4)2+76．

∴当x＝4时，W最大＝76．

当5＜x≤15时，W＝25+2(30﹣x)＝﹣2x+85．

∵W随x的增大而减小，

∴当x＝5时，W最大＝75

综合所述，当x＝4时，W最大＝76，此时30﹣x＝26．

即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时，学习收益总量最大．