Question

【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+6与x、y轴分别交于点A,点B,双曲线的解析式为

(1)求出线段AB的长

(2)在双曲线第四象限的分支上存在一点C,使得CB⊥AB,且CB=AB,求k的值;

(3)在(1)(2)的条件下,连接AC,点D为BC的中点,过D作AC的垂线BF,交AC于B,交直线AB于F,连AD,若点P为射线AD上的一动点,连接PC、PF,当点P在射线AD上运动时,PF-PC的值是否发生改变?若改变,请求出其范围;若不变,请证明并求出定值。

Answer 1

【答案】（1）10（2）-12；（3）不变，25

【解析】

(1)首先求出图象与坐标轴交点坐标,进而得出AO,OB的长,即可利用勾股定理求出AB的长;

(2)首先作CD⊥y轴于点D,求出∠BAO=∠CBD再利用△ABO≌△BDC,进而得出C点坐标,即可得出k的值

(3)首先连接FC交AP于M,利用△ABD≌△CBF(SAS),得出∠BAD=∠DCM,进而利用勾股定理求出PF-PC=DF-CD,求出即可

（1）

由y=x+6与x、y轴分別交于点A,点B，

得:x=0时,y=6,y=0时,x=-8

故A(-8,0),B(0,6)

∴AO=8, OB=6

∴AB==10

(2)作CD⊥y轴于点D,

∵∠ABO+∠BAO=90°，∠CBO+∠ABO=90°,

∴∠BAO=∠CBD

在△ABO和△BDC中,

∴△ABO≌△BDC(AAS),

∴CD=OB=6, BD=OA=8

∴OD=BD-OB=8-6=2

∴C(6,-2)

∴k=6×(-2)=-12

(3)连接FC交AP于M

∵AB=BC,∠ABC=90°,

∴∠ACB=45°

∵EF⊥AC

∴∠BDR=∠EDC=45°

∵∠ABC=90°

∴.∠BFD=∠BDF=45°

∴BD=BF

在△ABD和△CBF中

∴△ABD≌△CBF(SAS)

∴∠BAD=∠DCM

∴∠DMC=∠ABD=90°

∴PF-PC=(FM+ MP)-(CM+MP)=FM-CM=(DF-DM)-(CD-DM)=DF-CD

∵D是BC的中点

∴BD=CD=5

.∴BF=5

∴DF= =5

∴PF-PC=(5) -5=25