Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若BF=12，⊙O的半径为10，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）8.

【解析】

（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得：OE∥BC，所以OE⊥AC，则AC是⊙O的切线；

（2）作弦心距OH，根据垂径定理求得BH，再根据勾股定理求OH的长，根据矩形的性质即可求得CE=OH=8．

（1）证明：连接OE，

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠ABE，

∵OB=OE，

∴∠ABE=∠OEB，

∴∠CBE=∠OEB，

∴OE∥BC，

∵∠ACB=90°，

∴OE⊥AC，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：过O作OH⊥BC于H，

∴BH=HF=6，

在Rt△OBH中，

OH===8，

在矩形OHCE中，CE=OH=8．