Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为3，E是对角线BD上一点（BE＞DE）．

（1）利用直尺和圆规，在图中过点E作AE的垂线，交BC边于点F（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）中，求证：AE＝EF；

（3）若（1）中四边形ABFE的面积为4，求AE的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）过点E作AE的垂线即可；

（2）如图，过点E作EM⊥AB、EN⊥BC，先证明矩形MBNE是正方形，则∠AEM＝∠FEN，再证明△AEM≌△FEN，从而得到AE＝EF；

（3）利用△AEM≌△FEN得到S△AEM＝S△FEN，则S四边形ABFE＝S正方形MBNE，利用正方形面积公式得到BM＝2，则AM＝AB﹣BM＝1，然后利用勾股定理计算AE的长．

（1）如图，

（2）如图，过点E作EM⊥AB、EN⊥BC，

∴∠EMB＝∠MBN＝∠ENB＝90°，

∴四边形MBNE是矩形，

又∵四边形ABCD为正方形，

∴BD平分∠ABC，∴EM＝EN，

∴矩形MBNE是正方形，

∵∠AEM+∠MEF＝∠MEF+∠FEN＝90°，

∴∠AEM＝∠FEN，

又∵∠AME＝∠FNE＝90°，EM＝EN，

∴△AEM≌△FEN（ASA），

∴AE＝EF；

（3）∵△AEM≌△FEN，

∴S△AEM＝S△FEN，

∴S四边形ABFE＝S正方形MBNE，

∵四边形ABFE的面积为4，

∴BM2＝4，

∴BM＝2（取正舍负），

∴AM＝AB﹣BM＝1，

∴AE＝