Question

【题目】如图①，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点P是y轴上的一个动点，连接PA，试求5PA+4PC的最小值；

（3）如图②，若直线l经过点T（﹣4，0），Q为直线l上的动点，当以A、B、Q为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时，试求直线l的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）5PA+4PC的最小值为18；（3）直线l的解析式为或.

【解析】

（1）设出交点式，代入C点计算即可 （2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D，易证△CDP∽△COB，得到比例式，得到PD=PC，所以5PA+4PC＝5（PA+PC）＝5（PA+PD），当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小，利用等面积法求出AE=，即最小值为18 （3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆, 当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，所以只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°，即∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q，∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个；此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G，利用cos∠QFT求出QG，分出情况Q在x轴上方和x轴下方时，分别代入直接l得到解析式即可

解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（﹣2，0）、B（4，0）

∴y＝a（x+2）（x﹣4）

把点C（0，3）代入得：﹣8a＝3

∴a＝﹣

∴抛物线解析式为y＝﹣（x+2）（x﹣4）＝﹣x2+x+3

（2）连接AC、BC，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PD⊥BC于点D

∴∠CDP＝∠COB＝90°

∵∠DCP＝∠OCB

∴△CDP∽△COB

∴

∵B（4，0），C（0，3）

∴OB＝4，OC＝3，BC＝=5

∴PD＝PC

∴5PA+4PC＝5（PA+PC）＝5（PA+PD）

∴当点A、P、D在同一直线上时，5PA+4PC＝5（PA+PD）＝5AE最小

∵A（﹣2，0），OC⊥AB，AE⊥BC

∴S△ABC＝ABOC＝BCAE

∴AE＝

∴5AE＝18

∴5PA+4PC的最小值为18．

（3）取AB中点F，以F为圆心、FA的长为半径画圆

当∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°时，即AQ或BQ垂直x轴，

∴只要直线l不垂直x轴则一定找到两个满足的点Q使∠BAQ＝90°或∠ABQ＝90°

∴∠AQB＝90°时，只有一个满足条件的点Q

∵当Q在⊙F上运动时（不与A、B重合），∠AQB＝90°

∴直线l与⊙F相切于点Q时，满足∠AQB＝90°的点Q只有一个

此时，连接FQ，过点Q作QG⊥x轴于点G

∴∠FQT＝90°

∵F为A（﹣2，0）、B（4，0）的中点

∴F（1，0），FQ＝FA＝3

∵T（﹣4，0）

∴TF＝5，cos∠QFT＝

∵Rt△FGQ中，cos∠QFT＝

∴FG＝FQ＝

∴xQ＝1﹣，QG＝

①若点Q在x轴上方，则Q（）

设直线l解析式为：y＝kx+b

∴ 解得：

∴直线l：

②若点Q在x轴下方，则Q（）

∴直线l：

综上所述，直线l的解析式为或