Question

6．如图，将边长为6的正方形ABCO放置在直角坐标系中，使点A在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上．点M（t，0）在x轴上运动，过A作直线MC的垂线交y轴于点N．
（1）当t=2时，tan∠NAO=$\frac{1}{3}$；
（2）在直角坐标系中，取定点P（3，8），则在点M运动过程中，当以M、N、C、P为顶点的四边形是梯形时，点M的坐标为（3，0）或（4+$\sqrt{34}$，0）或（4-$\sqrt{34}$，0）．

Answer 1

分析 （1）根据余角的定义，可得∠CMO+∠NAO，∠CMO+∠MCO，根据余角的性质，可得∠NAO=∠MCO，根据等角的三角函数值相等，可得tan∠NAO的值；
（2）分别从CN∥PM与PN∥CM（当M在x轴正半轴与负半轴）时，去分析求解，注意利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答 解：（1）∵AN⊥CM，
∴∠CMO+∠NAO=90°．
∵四边形ABCO是正方形，
∴∠AOC=90°，
∴∠CMO+∠MCO=90°．
∴∠NAO=∠MCO．
∴tan∠NAO=tan∠MCO=$\frac{MO}{CO}$=$\frac{2}{6}$=$\frac{1}{3}$；
（2）①如图1，
当CN∥PM时，
∵P（3，8），
∴M₁（3，0）；
②如图2，
当PN∥CM时，
则∠PNH=∠MCO，
过点P作PH⊥ON于H，
则∠PHN=∠MOC=90°，
则△PHN∽△MOC，
故$\frac{PH}{OM}$=$\frac{NH}{OC}$，
设点M（a，0），则N（0，a）（a＞0），
则NH=a-8，PH=3，OC=6，OM=a，
故$\frac{3}{a}$=$\frac{a-8}{6}$，
解得：a=4+$\sqrt{34}$；
故M₂（4+$\sqrt{34}$，0）；
③如图3，
，
当CM∥PN时，
则∠PNH=∠CMO，
过点P作PH⊥ON于H，
则∠PHN=∠COM=90°，
则△PHN∽△COM，
故$\frac{PH}{OC}$=$\frac{NH}{OM}$，
设点M（-b，0），则N（0，-b）（b＞0），
则NH=3，PH=8+b，OC=6，OM=b，
则$\frac{8+b}{6}$=$\frac{3}{b}$，
解得：b=$\sqrt{34}$-4；
故M₂（4-$\sqrt{34}$，0）．
故点M的坐标为（3，0）或（4+$\sqrt{34}$，0）或（4-$\sqrt{34}$，0）．
故答案为：（1）$\frac{1}{3}$；（2）（3，0）或（4+$\sqrt{34}$，0）或（4-$\sqrt{34}$，0）．

点评 此题考查了一次函数综合题，利用了正方形的性质、梯形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数的定义等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．