Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线和抛物线W交于A，B两点，其中点A是抛物线W的顶点．当点A在直线上运动时，抛物线W随点A作平移运动．在抛物线平移的过程中，线段AB的长度保持不变．

应用上面的结论，解决下列问题：

在平面直角坐标系xOy中，已知直线．点A是直线上的一个动点，且点A的横坐标为．以A为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点B．

（1）当时，求抛物线的解析式和AB的长；

（2）当点B到直线OA的距离达到最大时，直接写出此时点A的坐标；

（3）过点A作垂直于轴的直线交直线于点C．以C为顶点的抛物线与直线的另一个交点为点D．

①当AC⊥BD时，求的值；

②若以A，B，C，D为顶点构成的图形是凸四边形（各个内角度数都小于180°）时，直接写出满足条件的的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①；②的取值范围是或．

【解析】

（1）根据t=0时，A的坐标可以求得是（0，-2），利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，则B的坐标可以求得；
（2）△OAB的面积一定，当OA最小时，B到OA的距离即△OAB中OA边上的高最大，此时OA⊥AB，据此即可求解；
（3）①方法一：设AC，BD交于点E，直线l1：y=x-2，与x轴、y轴交于点P和Q（如图1）．由点D在抛物线C2：y=[x-（2t-4）]2+（t-2）上，可得 =[（t-1）-（2t-4）]2+（t-2），解方程即可得到t的值；
方法二：设直线l1：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2），根据BD⊥AC，可得t-1=2t-，解方程即可得到t的值；
②设直线l1与l2交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，可得满足条件的t的取值范围．

解：（1）∵点A在直线l1：y=x-2上，且点A的横坐标为0，
∴点A的坐标为（0，-2），
∴抛物线C1的解析式为y=-x2-2，
∵点B在直线l1：y=x-2上，
设点B的坐标为（x，x-2）．
∵点B在抛物线C1：y=-x2-2上，
∴x-2=-x2-2，
解得x=0或x=-1．
∵点A与点B不重合，
∴点B的坐标为（-1，-3），
∴由勾股定理得AB=．
（2）当OA⊥AB时，点B到直线OA的距离达到最大，则OA的解析式是y=-x，则
，解得： ，
则点A的坐标为（1，-1）．

（3）①方法一：设，交于点，直线，与轴、轴交于点和（如图1）．

则点和点的坐标分别为，．

∴．

∵．

∵轴，

∴轴．

∴．

∵，，

∴．

∵点在直线上，且点的横坐标为，

∴点的坐标为．

∴点的坐标为．

∵轴，

∴点的纵坐标为．

∵点在直线上，

∴点的坐标为．

∴抛物线的解析式为．

∵，

∴点的横坐标为，

∵点在直线上，

∴点的坐标为．

∵点在抛物线上，

∴．

解得或．

∵当时，点与点重合，

∴

方法二：设直线l1：y=x-2与x轴交于点P，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，交于点N．（如图2）

则∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB．
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．
∵在抛物线C1随顶点A平移的过程中，
AB的长度不变，∠ABN的大小不变，
∴BN和AN的长度也不变，即点A与点B的横坐标的差以及纵坐标的差都保持不变．
同理，点C与点D的横坐标的差以及纵坐标的差也保持不变．
由（1）知当点A的坐标为（0，-2）时，点B的坐标为（-1，-3），
∴当点A的坐标为（t，t-2）时，点B的坐标为（t-1，t-3）．
∵AC∥x轴，
∴点C的纵坐标为t-2．
∵点C在直线l2：y＝x上，
∴点C的坐标为（2t-4，t-2）．
令t=2，则点C的坐标为（0，0）．
∴抛物线C2的解析式为y=x2．
∵点D在直线l2：y＝x上，
∴设点D的坐标为(x，)．
∵点D在抛物线C2：y=x2上，
∴＝x2．
解得x＝或x=0．
∵点C与点D不重合，
∴点D的坐标为(，)．
∴当点C的坐标为（0，0）时，点D的坐标为(，)．
∴当点C的坐标为（2t-4，t-2）时，点D的坐标为(2t，t)．
∵BD⊥AC，
∴t1＝2t．
∴t＝．
②t的取值范围是t＜或t＞5．
设直线l1与l2交于点M．随着点A从左向右运动，从点D与点M重合，到点B与点M重合的过程中，以A，B，C，D为顶点构成的图形不是凸四边形．