Question

1．如图，等腰Rt△ABC内接于⊙O，AB=4$\sqrt{2}$，D为AB的中点，P为⊙O上一动点，则线段DP的最大值为4+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先找出线段DP取得最大值时点P的位置；然后求出DO、OP′的长度，即可解决问题．

解答 解：如图，连接DO并延长，交⊙O于点P′，
由圆的对称性知：当点P运动到点P′时，DP的值最大；
∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=4$\sqrt{2}$，
∴BC=4$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=8，；
∵点D、O分别为AB、AC的中点，
∴DO为△ABC的中位线，
∴DO=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{2}$，DP′=2$\sqrt{2}$+4，
故答案为4+2$\sqrt{2}$．

点评 该题主要考查了勾股定理、圆的对称性、三角形的中位线定理及其应用问题；解题的方法是作辅助线，准确找出DP取最大值时点P的位置；解题的关键是灵活运用勾股定理、圆的对称性、三角形的中位线定理等来分析、判断、解答．