Question

13．探究：
在矩形ABCD中，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：ME=MF；
（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB：AB的值；
（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，直接写出AB、AD满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据ABCD是矩形，得出∠EAM=∠FDM=90°，根据AM=DM，∠AME=∠FMD证出△AEM≌△DFM，即可得出ME=FM；
（2）过点G作GH⊥AD于H，则AB=GH，根据△GEF是等腰直角三角形，得出ME=FM，GM⊥EF，根据∠MGE=∠MGF=45°，∠AME+∠GMH=90°，得出∠MGE=∠MEG=45°，ME=MG，再根据∠AME+∠AEM=90°，得出∠AEM=∠GMH从而证出△AEM≌△HMG，得出GH=AM，即可解答；
（3）过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，连接MG，则∠GHM=∠A，根据△GEF是等边三角形，得出EM=FM，GM⊥EF，$\frac{EM}{GM}=cot6{0}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠AME+∠GMH=90°，根据∠AME+∠AEM=90°，得出∠GMH=∠AEM，证出△AEM∽△HMG，$\frac{AM}{HG}=\frac{EM}{GM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，得出HG=$\sqrt{3}$AM，最后根据AB=HG即可求出答案．

解答 （1）证明：如图1，

在矩形ABCD中，
∠A=∠FDM=90°．
又∵AM=DM，∠AME=∠DMF，
∴△AME≌△DMF．
∴ME=MF．
（2）解：如图2，过点G作GH⊥AD于点H．

∴四边形ABGH是矩形．
∵△EGF是等腰直角三角形，
由（1）得，ME=MF，
∴ME=MG，
∠EMG=90°．
∴∠AME+∠DMG=∠HGM+∠DMG=90°．
∴∠AME=∠HGM．
又∵∠A=∠MHG，
∴△AME≌△HGM，
∴AM=HG．
∴AB=HG=AM=$\frac{1}{2}$AD，
∴AD=2AB，
∴AB：AD=2：1，
（3）AB=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}AD$，
如图3，过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，连接MG，则∠GHM=∠A，

∵△GEF是等边三角形，EM=FM，
∴GM⊥EF，
∴$\frac{EM}{GM}=cot6{0}^{°}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∠AME+∠GMH=90°，
∵∠AME+∠AEM=90°，
∴∠GMH=∠AEM，
∴△AEM∽△HMG，
∴$\frac{AM}{HG}=\frac{EM}{GM}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴HG=$\sqrt{3}$AM=$\sqrt{3}×\frac{AD}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}AD$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}AD$．

点评 此题考查了四边形综合，用到的知识点是全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用，等边三角形、等腰直角三角形的性质．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键．