Question

如图，直线l与y轴、x轴分别交于点A（0，-2）和点B（-

3

2

，0）．

（1）求直线l的解析式；
（2）点D是直线l上的一个动点，C点的坐标是（1，0），以CD为边在一侧作正方形CDEF（如图所示），当正方形的一个顶点恰好落在y轴上时（D点除外），求出对应的D点的坐标；
（3）若点M、点N分别为边EF和FC上的两个点，并且∠MDN=45°，问：在点D运动的过程中，△FMN的周长是否存在最小值？若存在，求出周长的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：常规题型

分析：（1）将A，B两点代入直线解析式y=kx+b，即可求得k，b的值即可解题；
（2）正方形顶点F落于y轴上，且C点横坐标为1，可得D点纵坐标为1，即可求得D点坐标；
（3）易证△FMN的周长为正方形CDEF边长的2倍，即可求得△FMN的周长存在最小值时D点坐标．

解答：解：（1）设直线l解析式为y=kx+b，
∵A，B两点在直线l上，
∴b=-2，k=-

4

3

，
∴直线l解析式为y=-

4

3

x-2；
（2）正方形顶点F落于y轴上，且C点横坐标为1，
∴D点纵坐标为1，
将y=1，代入y=-

4

3

-2中，得x=-

9

4

．
∴D点坐标为（-

9

4

，1）；
（3）将△DCN向左旋转90°得到△DEQ，

∵CD=DE，∴Q，E，F三点一线，
∵DMN=45°，∴∠QDM=∠EDM+∠CDN=45°，
在△DMQ和△DMN中，

DM=DM ∠QDM=∠NDM DQ=DN

，
∴△DMQ≌△DMN（SAS），
∴MN=QM=EM+CN，
∴△FMN周长=FM+FN+MN=2CD，
∴在点D运动的过程中，△FMN的周长存在最小值．
即让CD最短即可，C点到直线l最短距离为垂线段长度，即CD⊥l即可，
∴直线CD的斜率

3

4

，
设直线CD解析式为y=

3

4

x+b，
∵直线CD经过C点，代入C点坐标得b=-

3

4

，
直线CD解析式为y=

3

4

x-

3

4

，
直线CD与l的交点为（-

3

5

，-

6

5

），
故点D坐标为（-

3

5

，-

6

5

）时，△FMN周长有最小值为4．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了一次函数的交点问题，本题中求证△FMN周长是CD长的2倍是解题的关键．