Question

7．如图，在平行四边形ABCD中，∠ABD=30°，AB=4，BD=5$\sqrt{3}$，将△BCD沿方向平移BD，得到△EFG．
（1）连结AE、DF，求证：四边形AEFD为平行四边形．
（2）若?AEFD为矩形，求△BCD平移的距离BE．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD为平行四边形，得到AD∥BC，AD=BC，由于△EFG由△BCD沿直线BD的方向平移，于是得到AD∥EF，AD=EF，于是结论可得；
（2）过A，F点分别作BD的垂线，垂足为M，N，由∠AEF=90°，得到Rt△AEM∽Rt△EFM，于是得到$\frac{AM}{EM}=\frac{EN}{FN}$，由于∠ABC=30°，AB=4，BD=5$\sqrt{3}$，得到AM=2，2$\sqrt{3}$，EN=3$\sqrt{3}$，即可得到结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵△EFG由△BCD沿直线BD的方向平移，
∴AD∥EF，AD=EF，
∴四边形AEFD为平行四边形；

（2）解：过A，F点分别作BD的垂线，垂足为M，N，
∵∠AEF=90°，
∴Rt△AEM∽Rt△EFM，
∴$\frac{AM}{EM}=\frac{EN}{FN}$，
∵∠ABC=30°，AB=4，BD=5$\sqrt{3}$，
可得，AM=2，2$\sqrt{3}$，EN=3$\sqrt{3}$，
∴EM=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$    
∴BE=BM-EM=2$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{9}$=$\frac{14\sqrt{3}}{9}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．