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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB6AD3,点E是边CD的中点,点PQ分别是射线DC与射线EB上的动点,连结PQAPBP,设DPtEQt

1)当点P在线段DE上(不包括端点)时.

①求证:APPQ;②当AP平分∠DPB时,求△PBQ的面积.

2)在点PQ的运动过程中,是否存在这样的t,使得△PBQ为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,试说明理由.

【答案】1)①见解析;②SPBQ189;(2)存在,满足条件的t的值为6336+3

【解析】

1)①如图1中,过点QQFCD于点F,证明RtADPRtPFQ即可.

②如图,过点APB的垂线,垂足为H,过点QPB的垂线,垂足为G.由RtADPRtAHP,推出PHPDtAHAD3.由RtAHPRtPGQ,推出QGPHDPt,在RtAHB中,则有32+(6t262,求出t即可解决问题.

2)分三种情形:①如图31中,若点P在线段DE上,当PQQB时.②如图32中,若点P在线段EC上(如图),当PBBQ时.③如图33中,若点P在线段DC延长线上,QPQB时,分别求解即可.

1)①证明:如图1中,过点QQFCD于点F

∵点EDC的中点,

CEDE3CB

又∵∠C90°,

∴∠CEB=∠CBE45°,

EQtDPt

EFFQt

FQDP

PFPE+EFPE+DPDE3

PFAD

RtADPRtPFQ

APPQ

②如图,过点APB的垂线,垂足为H,过点QPB的垂线,垂足为G

AP平分∠DPB,得∠APD=∠APB,易证RtADPRtAHP

PHPDtAHAD3

又∠APD=∠PAB,∴∠PAB=∠APB

PBAB8

易证RtAHPRtPGQ

QGPHDPt

RtAHB中,则有32+(6t262

解得t63

SPBQPBQG×6×(63)=189

3)①如图31中,若点P在线段DE上,当PQQB时,

APPQQBBEEQ3t

RtAPD中,由DP2+AD2AP2,得t2+923t2

解得t636+3(舍去)

②如图32中,若点P在线段EC上(如图),当PBBQ时,

PBBQt3

则在RtBCP中,由BP2CP2+BC2,得2t32=(6t2+9

解得:t3(舍去)

③如图33中,若点P在线段DC延长线上,QPQB时,

APPQBQt3

RtAPD中,由DP2+AD2AP2

t2+92t32,解得(舍去)或

综上所述,满足条件的t的值为6336+3

练习册系列答案
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活动一

如图3,将铅笔绕端点顺时针旋转,交于点,当旋转至水平位置时,铅笔的中点与点重合.

数学思考

1)设,点的距离

①用含的代数式表示:的长是_________的长是________

的函数关系式是_____________,自变量的取值范围是____________

活动二

2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.

6

5

4

3.5

3

2.5

2

1

0.5

0

0

0.55

1.2

1.58

1.0

2.47

3

4.29

5.08

②描点:根据表中数值,描出①中剩余的两个点

③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.

数学思考

3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.

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【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,点,点.

(Ⅰ)如图①,求AB的长;

(Ⅱ)如图②,把图①中的绕点B顺时针旋转,使点O的对应点AM恰好落在OA延长线上,N是点A旋转后的对应点.

①求证:;②求点N的坐标;

(Ⅲ)点COB的中点,点D为线段OA上的动点,在绕点B顺时针旋转过程中,点D的对应点是P,求线段CP长的取值范围(直接写出结果).

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(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当A′B′G′是等边三角形时,求k的值:

(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由.

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