【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=3,点E是边CD的中点,点P,Q分别是射线DC与射线EB上的动点,连结PQ,AP,BP,设DP=t,EQ=t.
(1)当点P在线段DE上(不包括端点)时.
①求证:AP=PQ;②当AP平分∠DPB时,求△PBQ的面积.
(2)在点P,Q的运动过程中,是否存在这样的t,使得△PBQ为等腰三角形?若存在,请求出t的值;若不存在,试说明理由.
【答案】(1)①见解析;②S△PBQ=18﹣9;(2)存在,满足条件的t的值为6﹣3或3或6+3.
【解析】
(1)①如图1中,过点Q作QF⊥CD于点F,证明Rt△ADP≌Rt△PFQ即可.
②如图,过点A作PB的垂线,垂足为H,过点Q作PB的垂线,垂足为G.由Rt△ADP≌Rt△AHP,推出PH=PD=t,AH=AD=3.由Rt△AHP△Rt△PGQ,推出QG=PH=DP=t,在Rt△AHB中,则有32+(6﹣t)2=62,求出t即可解决问题.
(2)分三种情形:①如图3﹣1中,若点P在线段DE上,当PQ=QB时.②如图3﹣2中,若点P在线段EC上(如图),当PB=BQ时.③如图3﹣3中,若点P在线段DC延长线上,QP=QB时,分别求解即可.
(1)①证明:如图1中,过点Q作QF⊥CD于点F,
∵点E是DC的中点,
∴CE=DE=3=CB,
又∵∠C=90°,
∴∠CEB=∠CBE=45°,
∵EQ=t,DP=t,
∴EF=FQ=t.
∴FQ=DP,
∴PF=PE+EF=PE+DP=DE=3
∴PF=AD,
∴Rt△ADP≌Rt△PFQ,
∴AP=PQ.
②如图,过点A作PB的垂线,垂足为H,过点Q作PB的垂线,垂足为G.
由AP平分∠DPB,得∠APD=∠APB,易证Rt△ADP≌Rt△AHP,
∴PH=PD=t,AH=AD=3.
又∠APD=∠PAB,∴∠PAB=∠APB,
∴PB=AB=8,
易证Rt△AHP△Rt△PGQ,
∴QG=PH=DP=t,
在Rt△AHB中,则有32+(6﹣t)2=62,
解得t=6﹣3,
∴S△PBQ=PBQG=×6×(6﹣3)=18﹣9.
(3)①如图3﹣1中,若点P在线段DE上,当PQ=QB时,
∴AP=PQ=QB=BE﹣EQ=3﹣t,
在Rt△APD中,由DP2+AD2=AP2,得t2+9=2(3﹣t)2,
解得t=6﹣3或6+3(舍去)
②如图3﹣2中,若点P在线段EC上(如图),当PB=BQ时,
∴PB=BQ=t﹣3,
则在Rt△BCP中,由BP2=CP2+BC2,得2(t﹣3)2=(6﹣t)2+9,
解得:t=3或 (舍去)
③如图3﹣3中,若点P在线段DC延长线上,QP=QB时,
∴AP=PQ=BQ=t﹣3,
在Rt△APD中,由DP2+AD2=AP2,
得t2+9=2(t﹣3)2,解得(舍去)或
综上所述,满足条件的t的值为6﹣3或3或6+3.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】数学活动课上,张老师引导同学进行如下探究:如图1,将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上,一端固定在桌面上,图2是示意图.
活动一
如图3,将铅笔绕端点顺时针旋转,与交于点,当旋转至水平位置时,铅笔的中点与点重合.
数学思考
(1)设,点到的距离.
①用含的代数式表示:的长是_________,的长是________;
②与的函数关系式是_____________,自变量的取值范围是____________.
活动二
(2)①列表:根据(1)中所求函数关系式计算并补全表格.
6 | 5 | 4 | 3.5 | 3 | 2.5 | 2 | 1 | 0.5 | 0 | |
0 | 0.55 | 1.2 | 1.58 | 1.0 | 2.47 | 3 | 4.29 | 5.08 |
②描点:根据表中数值,描出①中剩余的两个点.
③连线:在平面直角坐标系中,请用平滑的曲线画出该函数的图象.
数学思考
(3)请你结合函数的图象,写出该函数的两条性质或结论.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,为坐标原点,点,点.
(Ⅰ)如图①,求AB的长;
(Ⅱ)如图②,把图①中的绕点B顺时针旋转,使点O的对应点AM恰好落在OA延长线上,N是点A旋转后的对应点.
①求证:;②求点N的坐标;
(Ⅲ)点C是OB的中点,点D为线段OA上的动点,在绕点B顺时针旋转过程中,点D的对应点是P,求线段CP长的取值范围(直接写出结果).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在等腰△ABC中,AB=BC,点D是AC边的中点,延长BD至点E,使得DE=BD,连结CE.
(1)求证:△ABD≌△CED.
(2)当BC=5,CD=3时,求△BCE的周长.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,抛物线C1:y=ax2﹣2ax+c(a<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标为(﹣1,0),点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G.
(1)求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标;
(2)如图2,将抛物线C1向下平移k(k>0)个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值:
(3)在(2)的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标:若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,将放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,点B,点C均落在格点上.
(I)计算的值等于____________;
(Ⅱ)请在如图所示的网格中,用无刻度的直尺,画出一个以AB为一边、面积等于的矩形,并简要说明画图方法(不要求证明)_____________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线,交x轴于,交y轴的负半轴于点C,顶点为D.
有下列结论:
①
②;
③当△ABD是等腰直角三角形时,则;
④当△ABC是等腰三角形时,a的值有3个,其中,正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】为了倡导“节约用水,从我做起”,市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况做一次调查,市政府调查小组随机抽查了其中100户家庭一年的月平均用水量(单位:吨)并将调查结果制成了如图所示的条形统计图。
(1)请将条形统计图补充完整;
(2)求这100个样本数据的平均数,众数和中位数;
(3)根据样本数据,估计市直机关500户家庭中平均用水量不超过12吨的约有多少户?
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com