Question

1．已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以AB为边向外作等边三角形ABE，CE与BD相交于点F，则$\frac{OA}{OF}$的值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正方形的性质和等边三角形的性质可知∠CBE=150°，因为BC=BE，所以∠ECB=15°，从而可知：∠FAB=15°，然后可证明∠OAF=30°，最后利用特殊锐角三角函数即可求得答案．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，三角形ABE为等边三角形，
∴BC=BE，∠CBE=150°．
∴∠ECB=∠CEB=15°．
由正方形的对称性可知：∠ECB=∠AFB=15°，
∴∠OAF=∠CAB-∠FAB=45°-15°=30°．
由特殊锐角三角函数值可知：$\frac{OA}{OF}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是正方形的性质和等边三角形的性质和等腰三角形的性质，求得∠OAF的度数是解题的关键．