Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=8，点P从点A出发，沿折线AC-CB以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A，B重合时，在边AB上取一点Q，满足∠PQA=2∠B，过点Q作QM⊥PQ，交边BC于点M，以PQ，QM为边作矩形PQMN，设点P的运动时间为t秒．

（1）直接写出线段PQ的长（用含t的代数式表示）；

（2）当矩形PQMN为正方形时，求t的值；

（3）设矩形PQMN与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式.

Answer 1

【答案】（1）当0<t≤2时，PO= t，当2<t<6时，PQ= t+3 ；（2）t= ；（3）S= - t+

【解析】

（1）利用行程问题的等量关系用含t的代数式表示出线段AP的长，利用勾股定理求出AB的长，然后分两种情况解答：

①当0<t≤2时，作QH⊥AC，可得QH∥BC，则∠AQH=∠B，已知∠PQA=2∠B，故可得∠AQH=∠PQH，从而可得△AQH≌△PAH，利用全等三角形对应边相等可得PQ=AQ；然后易证△AQH∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式即可求出线段AQ，而PQ=AQ，故而可求；

②当2<t<6时，作QG⊥BC，可得PQ=QB，利用△BQG∽△BAC对应边成比例求解，解法同①；

（2）分两种情况求解：①当0<t≤2时，作QD⊥AC，QE⊥BC，利用正方形的性质易证△DQP≌△EQM，则DQ=EQ，即t+2t=4，解得值即可；②当2<t<6时，PQ=QB>QM，则可判断PQMN不可能是正方形；

（3）分0<t≤2和2<t<6两种情况，用割补法求出重合部分的面积即可；

（1）当0<t≤2时，作QH⊥AC，可得QH∥BC，则∠AQH=∠B，已知∠PQA=2∠B，故可得∠AQH=∠PQH，从而可得△AQH≌△PAH，利用全等三角形对应边相等可得PQ=AQ；然后易证△AQH∽△ABC，利用相似三角形的对应边成比例列出比例式即可求出线段AQ，而PQ=AQ，故而可求PO= t；当2<t<6时，作QG⊥BC，可得PQ=QB，利用△BQG∽△BAC对应边成比例，得到PQ= （6-t）= t+3 .

（2）解：当2<t<6时，PQ=QB>QM，此时矩形PQMN不可是正方形．

当0<t≤2时，

如图，过点Q分别作AC，BC的垂线，垂足为D，E．

∵∠PQM=∠DQE=90°，

∴∠DQP=∠EQM，

又∠PDQ=∠MEQ=90°，PQ=MQ，

∴△DQP≌△EQM（AAS），

∴DQ=EQ

∴t+2t=4，解得t=

即，当t= 时，矩形PQMN为正方形

（3）当0<t≤2时，S=PQ·QM- = t· （4-t）- = +10t；当2<t<6时，S= = = - t+ .