Question

13．【阅读】
我们分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化，
其中“作差法”就是常用的方法之一．所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号确定他们的大小，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N．
【运用】
利用“作差法”解决下列问题：
（1）小丽和小颖分别两次购买同一种商品，小丽两次都买了m千克商品，小颖两次购买商品均花费n元，已知第一次购买该商品的价格为a元/千克，第二次购买该商品的价格为b元/千克（a，b是整数，且a≠b），试比较小丽和小颖两次所购买商品的平均价格的高低． 
（2）奶奶提一篮子玉米到集贸市场去兑换大米，每2kg玉米兑换1kg大米，商贩用秤称得连篮子带玉米恰好20kg，于是商贩连篮子带大米给奶奶共10kg，在这个过程中谁吃了亏？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意分别表示出小丽和小颖两次所购买商品的平均价格，利用作差法比较即可；
（2）设篮子的质量为xkg，根据题意可得奶奶有的玉米数量为（20-x）kg，小贩给小莲的大米数量为（10-$\frac{x}{2}$）kg，再根据玉米大米兑换比例即可得解．

解答 解：（1）∵$\frac{am+bm}{2m}$=$\frac{a+b}{2}$，$\frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}}$=$\frac{2ab}{a+b}$，
∴$\frac{a+b}{2}$-$\frac{2ab}{a+b}$=$\frac{（a+b）^{2}-4ab}{2（a+b）}$=$\frac{（a-b）^{2}}{2（a+b）}$＞0，
∴小丽两次所购买商品的平均价格高．
（2）奶奶吃亏．
理由：设篮子重xkg，玉米重（20-x）kg，
应换取$\frac{20-x}{2}$kg大米，
商贩给奶奶的大米（10-x）kg，
$\frac{20-x}{2}$-（10-x）=$\frac{x}{2}$．
答：在此过程中奶奶吃亏，吃亏$\frac{x}{2}$千克．

点评 此题考查了分式的加减法，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．