Question

已知AB是⊙O的直径，AD，BC是⊙O的两条切线，DC与⊙O相切于点E，如图1，求证：OD∥BE；如图2，若AD=9，BC=16，求tan∠DBE的值．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）连接OE，可证明△AOD≌△EOD，结合条件可证明∠AOD=∠OBE，可证得OD∥BE．
（2）作OF⊥BD于F，作DM⊥BC于M；得四边形ADMB是矩形，求出AB、OD、DF、OF的长，再证出∠DBE=∠ODF，即可求出tan∠DBE的值．

解答：解：（1）证明：如图1所示，连接OE，
∵DA，DC是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，OE⊥CD，且DA=DE，
在Rt△AOD和Rt△EOD中，

OD=OD   OA=OE

，
∴Rt△AOD≌Rt△EOD（HL），
∴∠AOD=∠DOE，
又∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
又∵∠AOE=∠OBE+∠OEB，
即2∠AOD=2∠OBE，
∴∠AOD=∠OBE，
∴OD∥BE．
（2）作OF⊥BD于F，作DM⊥BC于M；如图2所示：
则四边形ADMB是矩形，
∴BM=AD=9，DM=AB；
∵AD、BC、CD是⊙O的切线，
∴DE=AD=9，CE=BC=16，∠DAB=90°，
∴CD=16+9=25，CM=16-9=7，
∴DM=

252-72

=24，
∴AB=DM=24，OA=12，
∴BD=

242+92

=3

73

，
∵∠OFB=∠DAB=90°，∠OBF=∠DBA，∴△OBF∽△DBA，∴

OF

DA

=

OB

BD

=

BF

AB

，即

OF

9

=

12

3 73

=

BF

24

，∴OF=

9×12

3 73

=

36 73

73

，BF=

24×12

3 73

=

96 73

73

，∴DF=BD-BF=3

73

-

96 73

73

=

123 73

73

，
∵OD∥BE，∴∠DBE=∠ODF，
∴tan∠DBE=tan∠ODF=

OF

DF

=

36

123

=

12

41

．

点评：本题主要考查切线的性质、平行线的判定与性质以及锐角三角函数的运用；主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．