Question

【题目】如图，把等边△ABC沿DE翻折，使点A落在BC上的F处，给出以下结论：

①∠BDF=∠EFC；

②BDCE=BFCF；

③S△BDF+S△EFC=；

④若BF：CF=1：2，则AD：AE=4：5．其中正确的结论有_____．（填序号）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①根据∠CFE+∠DFE=120°，∠BDF+∠DFB=120°，即可得到∠BDF=∠EFC；②根据△BDF∽△CFE，可得，即可得BDCE=BFCF；③当点F为BC的中点时，S△BDF+S△EFC=成立，当点E与点C重合，点F与点B重合时，S△BDF+S△EFC=0；④设BF=1，CF=2，则BC=3=AB=AC，设DF=x=AD，则BD=3﹣x，依据，可得CE=，再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到，进而得到AD：AE=4：5．

①由折叠可得，∠DFE=∠A=60°，

∴∠CFE+∠DFE=120°，

∵∠B=60°，

∴∠BDF+∠DFB=120°，

∴∠BDF=∠EFC，故①正确；

②∵∠B=∠C=60°，∠BDF=∠EFC，

∴△BDF∽△CFE，

∴ ，

即BDCE=BFCF，故②正确；

③当点F为BC的中点时，S△BDF+S△EFC=成立，

当点E与点C重合，点F与点B重合时，S△BDF+S△EFC=0，

此时，S△BDF+S△EFC=不成立，故③错误；

④设BF=1，CF=2，则BC=3=AB=AC，

设DF=x=AD，则BD=3﹣x，

由，可得 ，

解得CE=，

∴AE=3﹣=EF，

由，可得 ，

解得x= ，

∴，

∴AD：AE=4：5，故④正确．

故答案为：①②④．